2016年內江市中考數學試題及答案

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2016年內江市中考數學試題及答案

　　A卷

　　一、選擇題(每小題3分，共36分)

　　1.-2016的倒數是( )

　　A.-2016 B.- C. D.2016

　　[答案]B

　　[考點]實數的運算。

　　[解析]非零整數n的倒數是，故-2016的倒數是 =- ，故選B.

　　2.2016年“五一”假期期間，某市接待旅游總人數達到了9180 000人次，將9180 000用科學記數法表示應為( )

　　A.918×104 B.9.18×105 C.9.18×106 D.9.18×107

　　[答案]C

　　[考點]科學記數法。

　　[解析] 把一個大于10的數表示成a×10n(1≤a<10，n是正整數)的形式，這種記數的方法叫科學記數法.科學記數法中，a是由原數的各位數字組成且只有一位整數的數，n比原數的整數位數少1.故選C.

　　3.將一副直角三角板如圖1放置，使含30°角的三角板的直角邊和含45°角的三角板一條直角邊在同一條直線上，則∠1的度數為( )

　　A.75° B.65° C.45° D.30°

　　[答案]A

　　[考點]三角形的內角和、外角定理。

　　[解析]方法一：∠1的對頂角所在的三角形中另兩個角的度數分別為60°，45°，∴∠1=180°-(60°+45°)=75°.

　　方法二：∠1可看作是某個三角形的外角，根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和計算.

　　故選A.

　　4.下列標志既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )

　　[答案]A

　　[考點]中心對稱與軸對稱圖形。

　　[解析]選項B中的圖形是軸對稱圖形，選項C中的圖形是中心對稱圖形，選項D中的圖形既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形.只有選項A中的圖形符合題意.

　　故選A.

　　5.下列幾何體中，主視圖和俯視圖都為矩形的是( )

　　[答案]B

　　[考點]三視圖。

　　[解析]

　　選項A 選項B 選項C 選項D

　　主視圖三角形矩形矩形梯形

　　俯視圖圓(含圓心) 矩形圓矩形

　　故選B.

　　6.在函數y= 中，自變量x的取值范圍是( )

　　A.x>3 B.x≥3 C.x>4 D.x≥3且x≠4

　　[答案]D

　　[考點]二次根式與分式的意義。

　　[解析]欲使根式有意義，則需x-3≥0;欲使分式有意義，則需x-4≠0.

　　∴x的取值范圍是解得x≥3且x≠4.故選D.

　　7.某校有25名同學參加某比賽，預賽成績各不相同，取前13名參加決賽，其中一名同學已經知道自己的成績，能否進入決賽，只需要再知道這25名同學成績的( )

　　A.最高分 B.中位數 C.方差 D.平均數

　　[答案]B

　　[考點]統計。

　　[解析]這里中位數是預賽成績排序后第13名同學的成績，成績大于中位數則能進入決賽，否則不能.

　　故選B.

　　8.甲、乙兩人同時分別從A，B兩地沿同一條公路騎自行車到C地，已知A，C兩地間的距離為110千米，B，C兩地間的距離為100千米，甲騎自行車的平均速度比乙快2千米/時，結果兩人同時到達C地，求兩人的平均速度分別為多少.為解決此問題，設乙騎自行車的平均速度為x千米/時，由題意列出方程，其中正確的是( )

　　A. = B. = C. = D. =

　　[答案]A

　　[考點]分式方程，應用題。

　　[解析]依題意可知甲騎自行車的平均速度為(x+2)千米/時.因為他們同時到達C地，即甲行駛110千米所需的時間與乙行駛100千米所需時間相等，所以 = .

　　故選A.

　　9.下列命題中，真命題是( )

　　A.對角線相等的四邊形是矩形

　　B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

　　C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

　　D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

　　[答案]C

　　[考點]特殊四邊形的判定。

　　[解析]滿足選項A或選項B中的條件時，不能推出四邊形是平行四邊形，因此它們都是假命題.由選項D中的條件只能推出四邊形是菱形，因此也是假例題.只有選項C中的命題是真命題.

　　故選C.

　　10.如圖2，點A，B，C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，則圖中陰影部分的面積為( )

　　A.π-4 B. π-1 C.π-2 D. π-2

　　[答案]C

　　[考點]同弧所對圓心與圓周角的關系，扇形面積公式、三角形面積公式。

　　[解析]∵∠O=2∠A=2×45°=90°.

　　∴S陰影=S扇形OBC-S△OBC= - ×2×2=π-2.

　　故選C.

　　11.已知等邊三角形的邊長為3，點P為等邊三角形內任意一點，則點P到三邊的距離之和為( )

　　A. B. C. D.不能確定

　　[答案]B

　　[考點]勾股定理，三角形面積公式，應用數學知識解決問題的能力。

　　[解析]如圖，△ABC是等邊三角形，AB=3，點P是三角形內任意一點，過點P分別向三邊AB，BC，CA作垂線，垂足依次為D，E，F，過點A作AH⊥BC于H.則

　　BH= ，AH= = .

　　連接PA，PB，PC，則S△PAB+S△PBC+S△PCA=S△ABC.

　　∴ AB•PD+ BC•PE+ CA•PF= BC•AH.

　　∴PD+PE+PF=AH= .

　　故選B.

　　12.一組正方形按如圖3所示的方式放置，其中頂點B1在y軸上，頂點C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x軸上，已知正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……則正方形A2016B2016C2016D2016的邊長是( )

　　A.( )2015 B.( )2016 C.( )2016 D.( )2015

　　[答案] D

　　[考點]三角形的相似，推理、猜想。

　　[解析]易知△B2C2E2∽△C1D1E1，∴ = = = 30°.

　　∴B2C2=C1D1• 30°= .∴C2D2= .

　　同理，B3C3=C2D2• 30°=( )2;

　　由此猜想BnCn=( )n-1.

　　當n=2016時，B2016C2016=( )2015.

　　故選D.

　　二、填空題(每小題5分，共20分)

　　13.分解因式：ax2-ay2=______.

　　[答案]a(x-y)(x+y).

　　[考點]因式分解。

　　[解析]先提取公因式a，再用平方差公式分解.

　　原式=a(x2-y2)=a(x-y)(x+y).

　　故選答案為：a(x-y)(x+y).

　　14.化簡：( + )÷ =______.

　　[答案]a.

　　[考點]分式的化簡。

　　[解析]先算小括號，再算除法.

　　原式=( - )÷ = ÷ =(a+3)• =a.

　　故答案為：a.

　　15.如圖4，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足為點E，則OE=______.

　　[答案]

　　[考點]菱形的性質，勾股定理，三角形面積公式。

　　[解析]∵菱形的對角線互相垂直平分，

　　∴OB=3，OC=4，∠BOC=90°.

　　∴BC= =5.

　　∵S△OBC= OB•OC，又S△OBC= BC•OE，

　　∴OB•OC=BC•OE，即3×4=5OE.

　　∴OE= .

　　故答案為： .

　　16.將一些半徑相同的小圓按如圖5所示的規律擺放，請仔細觀察，第n個圖形有______個小圓.(用含n的代數式表示)

　　[答案] n2+n+4

　　[考點]規律探索。

　　[解析]每個圖由外圍的4個小圓和中間的“矩形”組成，矩形的面積等于長成寬.由此可知

　　第1個圖中小圓的個數=1×2+4，

　　第2個圖中小圓的個數=2×3+4，

　　第3個圖中小圓的個數=3×4+4，

　　……

　　第n個圖中小圓的個數=n(n+1)+4=n2+n+4.

　　故答案為：n2+n+4.

　　三、解答題(本大題共5小題，共44分)

　　17.(7分)計算：|-3|+ • 30°- -(2016-π)0+( )-1.

　　[考點]實數運算。

　　解：原式=3+ × -2-1+2 5分

　　=3+1-2-1+2 6分

　　=3. 7分

　　18.(9分)如圖6所示，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連接BF.

　　(1)求證：D是BC的中點;

　　(2)若AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論.

　　[考點]三角形例行，特殊四邊形的性質與判定。

　　(1)證明：∵點E是AD的中點，∴AE=DE.

　　∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE.

　　∴△EAF≌△EDC. 3分

　　∴AF=DC.

　　∵AF=BD，

　　∴BD=DC，即D是BC的中點. 5分

　　(2)四邊形AFBD是矩形.證明如下：

　　∵AF∥BD，AF=BD，

　　∴四邊形AFBD是平行四邊形. 7分

　　∵AB=AC，又由(1)可知D是BC的中點，

　　∴AD⊥BC.

　　∴□AFBD是矩形. 9分

　　19.(9分)某學校為了增強學生體質，決定開放以下體育課外活動項目：A.籃球、B.乒乓球、C.跳繩、D.踢毽子.為了解學生最喜歡哪一種活動項目，隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成了兩幅不完整的統計圖(如圖7(1)，圖7(2))，請回答下列問題：

　　(1)這次被調查的學生共有_______人;

　　(2)請你將條形統計圖補充完整;

　　(3)在平時的乒乓球項目訓練中，甲、乙、丙、丁四人表現優秀，現決定從這四名同學任選兩名參加乒乓球比賽，求恰好選中甲、乙兩位同學的概率(用樹狀圖或列表法解答).

　　[考點]統計圖、概率。

　　解：(1)由扇形統計圖可知：扇形A的圓心角是36°，

　　所以喜歡A項目的人數占被調查人數的百分比= ×100%=10%. 1分

　　由條形圖可知：喜歡A類項目的人數有20人，

　　所以被調查的學生共有20÷10%=200(人). 2分

　　(2)喜歡C項目的人數=200-(20+80+40)=60(人)， 3分

　　因此在條形圖中補畫高度為60的長方條，如圖所示.

　　4分

　　(3)畫樹狀圖如下：

　　或者列表如下：

　　甲乙丙丁

　　甲甲乙甲丙甲丁

　　乙乙甲乙丙乙丁

　　丙丙甲丙乙丙丁

　　丁丁甲丁乙丁丙

　　分 7

　　從樹狀圖或表格中可知，從四名同學中任選兩名共有12種結果，每種結果出現的可能性相等，其中選中甲乙兩位同學(記為事件A)有2種結果，所以

　　P(A)= = . 9分

　　20.(9分)如圖8，禁漁期間，我漁政船在A處發現正北方向B處有一艘可疑船只，測得A，B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45°方向航行.我漁政船迅速沿北偏東30°方向前去攔截，經歷4小時剛好在C處將可疑船只攔截.求該可疑船只航行的平均速度(結果保留根號).

　　[考點]三角函數、解決實際問題。

　　解：如圖，過點C作CH⊥AB于H，則△BCH是等腰直角三角形.設CH=x，

　　則BH=x，AH=CH÷ 30°= x. 2分

　　∵AB=200，∴x+ x=200.

　　∴x= =100( -1). 4分

　　∴BC= x=100( - ). 6分

　　∵兩船行駛4小時相遇，

　　∴可疑船只航行的平均速度=100( - )÷4=45( - ). 8分

　　答：可疑船只航行的平均速度是每小時45( - )海里. 9分

　　21.(10分)如圖9，在 △ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F.⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交⊙O于點H，連接BD，FH.

　　(1)試判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由;

　　(2)當AB=BE=1時，求⊙O的面積;

　　(3)在(2)的條件下，求HG•HB的值.

　　[考點]切線的性質與判定定理，三角形的全等，直角三角形斜邊上中線定理、勾股定理。

　　(1)直線BD與⊙O相切.理由如下：

　　如圖，連接OB，∵BD是 △ABC斜邊上的中線，∴DB=DC.

　　∴∠DBC=∠C.

　　∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB=∠CED.

　　∵∠C+∠CED=90°，

　　∴∠DBC+∠OBE=90°.

　　∴BD與⊙O相切; 3分

　　(2)連接AE.∵AB=BE=1，∴AE= .

　　∵DF垂直平分AC，∴CE=AE= .∴BC=1+ . 4分

　　∵∠C+∠CAB=90°，∠DFA+∠CAB=90°，

　　∴∠CAB=∠DFA.

　　又∠CBA=∠FBE=90°，AB=BE，

　　∴△CAB≌△FEB.∴BF=BC=1+ . 5分

　　∴EF2=BE2+BF2=12+(1+ )2=4+2 . 6分

　　∴S⊙O= π•EF2= π. 7分

　　(3)∵AB=BE，∠ABE=90°，∴∠AEB=45°.

　　∵EA=EC，∴∠C=22.5°. 8分

　　∴∠H=∠BEG=∠CED=90°-22.5°=67.5°.

　　∵BH平分∠CBF，∴∠EBG=∠HBF=45°.

　　∴∠BGE=∠BFH=67.5°.

　　∴BG=BE=1，BH=BF=1+ . 9分

　　∴GH=BH-BG= .

　　∴HB•HG= ×(1+ )=2+ . 10分

　　B卷

　　一、填空題(每小題6分，共24分)

　　22.任取不等式組的一個整數解，則能使關于x的方程：2x+k=-1的解為非負數的概率為______.

　　[答案]

　　[考點]解不等式組，概率。

　　[解析]不等式組的解集為-

　　其中，當k=-2，-1時，方程2x+k=-1的解為非負數.

　　所以所求概率P= = .

　　故答案為： .

　　23.如圖10，點A在雙曲線y= 上，點B在雙曲線y= 上，且AB∥x軸，則△OAB的面積等于______.

　　[答案]

　　[考點]反比例函數，三角形的面積公式。

　　[解析]設點A的坐標為(a， ).

　　∵AB∥x軸，∴點B的縱坐標為 .

　　將y= 代入y= ，求得x= .

　　∴AB= -a= .

　　∴S△OAB= • • = .

　　故答案為： .

　　24.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖11所示，且P=|2a+b|+|3b-2c|，Q=|2a-b|-|3b+2c|，則P，Q的大小關系是______.

　　[答案]P>Q

　　[考點]二次函數的圖象及性質。

　　[解析]∵拋物線的開口向下，∴a<0.∵- =1，∴b>0且a=- .

　　∴|2a+b|=0，|2a-b|=b-2a.

　　∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴c>0.∴|3b+2c|=3b+2c.

　　由圖象可知當x=-1時，y<0，即a-b+c<0.

　　∴- -b+c<0，即3b-2c>0.∴|3b-2c|=3b-2c.

　　∴P=0+3b-2c=3b-2c>0，

　　Q=b-2a-(3b+2c)=-(b+2c)<0.

　　∴P>Q.

　　故答案為：P>Q.

　　25.如圖12所示，已知點C(1，0)，直線y=-x+7與兩坐標軸分別交于A，B兩點，D，E分別是AB，OA上的動點，則△CDE周長的最小值是______.

　　[答案]10

　　[考點]勾股定理，對稱問題。

　　[解析]作點C關于y軸的對稱點C1(-1，0)，點C關于x軸的對稱點C2，連接C1C2交OA于點E，交AB于點D，則此時△CDE的周長最小，且最小值等于C1C2的長.

　　∵OA=OB=7，∴CB=6，∠ABC=45°.

　　∵AB垂直平分CC2，

　　∴∠CBC2=90°，C2的坐標為(7，6).

　　在 △C1BC2中，C1C2= = =10.

　　即△CDE周長的最小值是10.

　　故答案為：10.

　　二、解答題(每小題12分，共36分)

　　26.(12分)問題引入：

　　(1)如圖13①，在△ABC中，點O是∠ABC和∠ACB平分線的交點，若∠A=α，則∠BOC=______(用α表示);如圖13②，∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠ACB，∠A=α，則∠BOC=______(用α表示).

　　(2)如圖13③，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，請猜想∠BOC=______(用α表示)，并說明理由.

　　類比研究：

　　(3)BO，CO分別是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分線，它們交于點O，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，請猜想∠BOC=______.

　　[考點]三角形的內角和，猜想、推理。

　　解：(1)第一個空填：90°+ ; 2分

　　第一個空填：90°+ . 4分

　　第一空的過程如下：∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=90°+ .

　　第二空的過程如下：∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=120°+ .

　　(2)答案：120°- .過程如下：

　　∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- (∠DBC+∠ECB)=180°- (180°+∠A)=120°- . 8分

　　(3)答案：120°- .過程如下：

　　∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°- (∠DBC+∠ECB)=180°- (180°+∠A)= •180°- . 12分

　　27.(12分)某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊周長為30米的籬笆圍成.已知墻長為18米(如圖14所示)，設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米.

　　(1)若苗圃園的面積為72平方米，求x;

　　(2)若平行于墻的一邊長不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎?如果有，求出最大值和最小值;如果沒有，請說明理由;

　　(3)當這個苗圃園的面積不小于100平方米時，直接寫出x的取值范圍.

　　[考點]應用題，一元二次方程，二次函數。

　　解：(1)苗圃園與墻平行的一邊長為(30-2x)米.依題意可列方程

　　x(30-2x)=72，即x2-15x+36=0. 2分

　　解得x1=3，x2=12. 4分

　　(2)依題意，得8≤30-2x≤18.解得6≤x≤11.

　　面積S=x(30-2x)=-2(x- )2+ (6≤x≤11).

　　①當x= 時，S有最大值，S最大= ; 6分

　　②當x=11時，S有最小值，S最小=11×(30-22)=88. 8分

　　(3)令x(30-2x)=100，得x2-15x+50=0.

　　解得x1=5，x2=10. 10分

　　∴x的取值范圍是5≤x≤10. 12分

　　28.(12分)如圖15，已知拋物線C：y=x2-3x+m，直線l：y=kx(k>0)，當k=1時，拋物線C與直線l只有一個公共點.

　　(1)求m的值;

　　(2)若直線l與拋物線C交于不同的兩點A，B，直線l與直線l1：y=-3x+b交于點P，且 + = ，求b的值;

　　(3)在(2)的條件下，設直線l1與y軸交于點Q，問：是否存在實數k使S△APQ=S△BPQ，若存在，求k的值;若不存在，說明理由.

　　[考點]二次函數與一元二次方程的關系，三角形的相似，推理論證的能力。

　　解：(1)∵當k=1時，拋物線C與直線l只有一個公共點，

　　∴方程組有且只有一組解. 2分

　　消去y，得x2-4x+m=0，所以此一元二次方程有兩個相等的實數根.

　　∴△=0，即(-4)2-4m=0.

　　∴m=4. 4分

　　(2)如圖，分別過點A，P，B作y軸的垂線，垂足依次為C，D，E，

　　則△OAC∽△OPD，∴ = .

　　同理， = .

　　∵ + = ，∴ + =2.

　　∴ + =2.

　　∴ + = ，即 = . 5分

　　解方程組得x= ，即PD= . 6分

　　由方程組消去y，得x2-(k+3)x+4=0.

　　∵AC，BE是以上一元二次方程的兩根，

　　∴AC+BE=k+3，AC•BE=4. 7分

　　∴ = .

　　解得b=8. 8分

　　(3)不存在.理由如下： 9分

　　假設存在，則當S△APQ=S△BPQ時有AP=PB，

　　于是PD-AC=PE-PD，即AC+BE=2PD.

　　由(2)可知AC+BE=k+3，PD= ，

　　∴k+3=2× ，即(k+3)2=16.

　　解得k=1(舍去k=-7). 11分

　　當k=1時，A，B兩點重合，△QAB不存在.

　　∴不存在實數k使S△APQ=S△BPQ. 12分

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