高中數學反證法綜合測試題

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高中數學反證法綜合測試題

　　在學習、工作中，我們會經常接觸并使用試題，借助試題可以更好地對被考核者的知識才能進行考察測驗。你知道什么樣的試題才是規范的嗎？下面是小編為大家收集的高中數學反證法綜合測試題，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。

高中數學反證法綜合測試題

　　高中數學反證法綜合測試題 1

　　一、選擇題

　　1．否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()

　　A．有一個解

　　B．有兩個解

　　C．至少有三個解

　　D．至少有兩個解

　　[答案] C

　　[解析] 在邏輯中“至多有n個”的否定是“至少有n＋1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解”，故應選C.

　　2．否定“自然數a、b、c中恰有一個偶數”時的正確反設為()

　　A．a、b、c都是奇數

　　B．a、b、c或都是奇數或至少有兩個偶數

　　C．a、b、c都是偶數

　　D．a、b、c中至少有兩個偶數

　　[答案] B

　　[解析] a，b，c三個數的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數；②有兩個奇數，一個偶數；③有一個奇數，兩個偶數；④三個偶數．因為要否定②，所以假設應為“全是奇數或至少有兩個偶數”．故應選B.

　　3．用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60”時，反設正確的是()

　　A．假設三內角都不大于60

　　B．假設三內角都大于60

　　C．假設三內角至多有一個大于60

　　D．假設三內角至多有兩個大于60

　　[答案] B

　　[解析] “至少有一個不大于”的否定是“都大于60”．故應選B.

　　4．用反證法證明命題：“若整系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數”時，下列假設正確的是()

　　A．假設a，b，c都是偶數

　　B．假設a、b，c都不是偶數

　　C．假設a，b，c至多有一個偶數

　　D．假設a，b，c至多有兩個偶數

　　[答案] B

　　[解析] “至少有一個”反設詞應為“沒有一個”，也就是說本題應假設為a，b，c都不是偶數．

　　5．命題“△ABC中，若B，則ab”的結論的否定應該是()

　　A．a

　　B．ab

　　C．a＝b

　　D．ab

　　[答案] B

　　[解析] “ab”的否定應為“a＝b或ab”，即ab.故應選B.

　　6．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關系為()

　　A．一定是異面直線

　　B．一定是相交直線

　　C．不可能是平行直線

　　D．不可能是相交直線

　　[答案] C

　　[解析] 假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．故應選C.

　　7．設a，b，c(－，0)，則三數a＋1b，c＋1a，b＋1c中()

　　A．都不大于－2

　　B．都不小于－2

　　C．至少有一個不大于－2

　　D．至少有一個不小于－2

　　[答案] C

　　[解析] a＋1b＋c＋1a＋b＋1c

　　＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c

　　∵a，b，c(－，0)，

　　a＋1a＝－－a＋－1a－2

　　b＋1b＝－－b＋－1b－2

　　c＋1c＝－－c＋－1c－2

　　a＋1b＋c＋1a＋b＋1c－6

　　三數a＋1b、c＋1a、b＋1c中至少有一個不大于－2，故應選C.

　　8．若P是兩條異面直線l、m外的.任意一點，則()

　　A．過點P有且僅有一條直線與l、m都平行

　　B．過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直

　　C．過點P有且僅有一條直線與l、m都相交

　　D．過點P有且僅有一條直線與l、m都異面

　　[答案] B

　　[解析] 對于A，若存在直線n，使n∥l且n∥m

　　則有l∥m，與l、m異面矛盾；對于C，過點P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖(l∥)；對于D，過點P與l、m都異面的直線不唯一．

　　9．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”，四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是()

　　A．甲

　　B．乙

　　C．丙

　　D．丁

　　[答案] C

　　[解析] 因為只有一人獲獎，所以丙、丁只有一個說對了，同時甲、乙中只有一人說對了，假設乙說的對，這樣丙就錯了，丁就對了，也就是甲也對了，與甲錯矛盾，所以乙說錯了，從而知甲、丙對，所以丙為獲獎歌手．故應選C.

　　10．已知x10，x11且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，試證“數列{xn}或者對任意正整數n都滿足xnxn＋1，或者對任意正整數n都滿足xnxn＋1”，當此題用反證法否定結論時，應為()

　　A．對任意的正整數n，都有xn＝xn＋1

　　B．存在正整數n，使xn＝xn＋1

　　C．存在正整數n，使xnxn＋1且xnxn－1

　　D．存在正整數n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)0

　　[答案] D

　　[解析] 命題的結論是“對任意正整數n，數列{xn}是遞增數列或是遞減數列”，其反設是“存在正整數n，使數列既不是遞增數列，也不是遞減數列”．故應選D.

　　二、填空題

　　11．命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結論的否定是________．

　　[答案] 沒有一個是三角形或四邊形或五邊形

　　[解析] “至少有一個”的否定是“沒有一個”．

　　12．用反證法證明命題“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么反設的內容是________________．

　　[答案] a，b都不能被5整除

　　[解析] “至少有一個”的否定是“都不能”．

　　13．用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：

　　①A＋B＋C＝90＋90＋180，這與三角形內角和為180相矛盾，則A＝B＝90不成立；

　　②所以一個三角形中不能有兩個直角；

　　③假設A，B，C中有兩個角是直角，不妨設A＝B＝90.

　　正確順序的序號排列為____________．

　　[答案] ③①②

　　[解析] 由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結論即②，即順序應為③①②.

　　14．用反證法證明質數有無限多個的過程如下：

　　假設______________．設全體質數為p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.

　　顯然，p不含因數p1、p2、…、pn.故p要么是質數，要么含有______________的質因數．這表明，除質數p1、p2、…、pn之外，還有質數，因此原假設不成立．于是，質數有無限多個．

　　[答案] 質數只有有限多個除p1、p2、…、pn之外

　　[解析] 由反證法的步驟可得．

　　三、解答題

　　15．已知：a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0.

　　求證：a0，b0，c0.

　　[證明] 用反證法：

　　假設a，b，c不都是正數，由abc0可知，這三個數中必有兩個為負數，一個為正數，

　　不妨設a0，b0，c0，則由a＋b＋c0，

　　可得c－(a＋b)，

　　又a＋b0，c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)

　　ab＋c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)＋ab

　　即ab＋bc＋ca－a2－ab－b2

　　∵a20，ab0，b20，－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)0，即ab＋bc＋ca0，

　　這與已知ab＋bc＋ca0矛盾，所以假設不成立．

　　因此a0，b0，c0成立．

　　16．已知a，b，c(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時大于14.

　　[證明] 證法1：假設(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正數，1－a、1－b、1－c都是正數.(1－a)＋b2(1－a)b＞14＝12，

　　同理(1－b)＋c2＞12，(1－c)＋a2＞12.

　　三式相加，得

　　(1－a)＋b2＋(1－b)＋c2＋(1－c)＋a2＞32，

　　即32＞32，矛盾．

　　所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于14.

　　證法2：假設三個式子同時大于14，即(1－a)b14，(1－b)c14，(1－c)a14，三式相乘得

　　(1－a)b(1－b)c(1－c)a143①

　　因為01，所以0a(1－a)1－a＋a22＝14.

　　同理，0b(1－b)14，0c(1－c)14.

　　所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c143.②

　　因為①與②矛盾，所以假設不成立，故原命題成立．

　　17．已知函數f(x)是(－，＋)上的增函數，a，bR.

　　(1)若a＋b0，求證：f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)；

　　(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論．

　　[解析] (1)證明：∵a＋b0，a－b.

　　由已知f(x)的單調性得f(a)f(－b)．

　　又a＋bb－af(b)f(－a)．

　　兩式相加即得：f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．

　　(2)逆命題：

　　f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)a＋b0.

　　下面用反證法證之．

　　假設a＋b0，那么：

　　a＋ba－bf(a)f(－b)a＋bb－af(b)f(－a)

　　f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．

　　這與已知矛盾，故只有a＋b0.逆命題得證．

　　18．(2010湖北理，20改編)已知數列{bn}的通項公式為bn＝1423n－1.求證：數列{bn}中的任意三項不可能成等差數列．

　　[解析] 假設數列{bn}存在三項br、bs、bt(rt)按某種順序成等差數列，由于數列{bn}是首項為14，公比為23的等比數列，于是有btbr，則只可能有2bs＝br＋bt成立．

　　21423s－1＝1423r－1＋1423t－1.

　　兩邊同乘3t－121－r，化簡得3t－r＋2t－r＝22s－r3t－s，

　　由于rt，所以上式左邊為奇數，右邊為偶數，故上式不可能成立，導致矛盾．

　　故數列{bn}中任意三項不可能成等差數列．

　　高中數學反證法綜合測試題 2

　　一、選擇題（每小題5分，計512=60分）

　　題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

　　答案

　　1. 在區間上為增函數的是: （）

　　A． B. C. D.

　　2. 已知函數，則與的大小關系是:（）

　　A. B. = C.D.不能確定

　　3. 下列命題:(1)若是增函數,則是減函數;(2)若是減函數,則是減函數;(3)若是增函數, 是減函數, 有意義,則為減函數,其中正確的個數有:（）

　　A.1B.2 C.3 D.0

　　4．函數f(x)在區間(－2，3)上是增函數，則y=f(x＋5)的遞增區間是（）

　　A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5)

　　5．函數f(x)= 在區間(－2，＋)上單調遞增，則實數a的取值范圍是（）

　　A．(0， ) B．( ，＋) C．(－2，＋) D．(－，－1)(1，＋)

　　6．已知定義域為R的函數f(x)在區間(－，5)上單調遞減，對任意實數t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（）

　　A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)

　　C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D ．f(13)＜f(－1)＜f(9)

　　7．已知函數在區間上是減函數，則實數的取值范圍是（）

　　A．a B．a－3 C．a D．a3

　　8．已知f(x)在區間(－，＋)上是增函數，a、bR且a＋b0，則下列不等式中正確的是（）

　　A．f(a)＋f(b)－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)

　　C．f(a)＋f(b)－f(a)＋f(b)］ D．f (a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)

　　9．定義在R上的函數y=f(x)在(－，2)上是增函數，且y=f(x＋2)圖象的對稱軸是x=0，則（）

　　A．f(－1)＜f(3) B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3) D．f(2)＜f(3)

　　10. 已知函數在上是單調函數,則的取值范圍是（）

　　A. B. C. D.

　　二、填空題（每小題4分，計44=16分）

　　11. 設函數 ,對任意實數都有成立,則函數值中,最小的一個不可能是_________

　　12. 函數是R上的單調函數且對任意實數有 . 則不等式的解集為__________

　　13．已知函數，當時，

　　14. 設設為奇函數, 且在內是減函數, ,則不等式的解集為．

　　15. 定義在（－，+）上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=－f（x），且在［－1，0］上是增函數，下面是關于f（x）的判斷：

　　①f（x）是周期函數；

　　②f（x）的圖象關于直線x=1對稱；

　　③f（x）在［0，1］上是增函數；

　　④f（x）在［1，2］上是減函數；⑤f（2）=f（0）.

　　其中正確的判斷是（把你認為正確的判斷都填上）

　　三、解答題（共計74分）

　　16. f(x)是定義在( 0，＋)上的增函數，且f( ) = f(x)－f(y)

　　（1）求f(1)的值．

　　（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f( ) ＜2 ．

　　17. 奇函數f(x)在定義域（-1，1）內是減函數，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范圍。

　　18.根據函數單調性的定義，判斷在上的單調性并給出證明。

　　19. 設f(x)是定義在R+上的遞增函數，且f(xy)=f(x) +f(y)

　　(1)求證 (2)若f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a的取值范圍．

　　20. 二次函數

　　(1)求f(x)的解析式；

　　(2)在區間[-1，1]上，y= f(x)的圖像恒在y=2x+m的圖像上方，試確定實數m的`取值范圍。

　　21．定義在R上的函數y=f(x)，對于任意實數m.n，恒有，且當x0時，01。

　　(1)求f(0)的值；

　　(2)求當x0時，f(x)的取值范圍；

　　(3)判斷f(x)在R上的單調性，并證明你的結論。

　　函數的單調性測試題答案

　　一、選擇題（每小題5分，計512=60分）

　　題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

　　答案

　　二. 填空題（每小題4分，計44=16分）

　　11. 12. (－1, ) 13. 1,0 14. 15. ①②⑤

　　三．解答題（共計74分）

　　16. 解： ①在等式中，則f(1)=0．

　　②在等式中令x=36，y=6則

　　故原不等式為：即f[x(x＋3)]＜f(36)，

　　又f(x)在(0，＋)上為增函數，

　　故不等式等價于：

　　17. 解: 在上任取x1,x2,且 ,

　　則

　　∵ ,

　　x1- x20，且 .

　　(1)當a0時, ,即，

　　是上的減函數；

　　(2 )當a0時, ,即，

　　是上的增函數；

　　18. 解：因為f(x ) 是奇函數，所以f(1-a2)=-f (a2-1)，由題設f(1-a)f(a2-1)。

　　又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-1a2-11，解得01。

　　19. 解：(1)因為，所以

　　(2)因為f(3)=1，f(9)=f(3)+f(3)=2，于是

　　由題設有解得

　　20. 解：（Ⅰ）令

　　二次函數圖像的對稱軸為。

　　可令二次函數的解析式為

　　由

　　二次函數的解析式為

　　（Ⅱ）∵

　　令

　　21.

　　21. 解：（1）令m=0,n0,則有

　　又由已知， n0時，01 f (0)=1

　　（2）設x0，則-x0

　　則又∵-x0 0 f(-x)

　　（3）f(x)在R上的單調遞減

　　證明：設

　　又，由已知

　　…… 16分

　　由（1）、（2），

　　f(x)在R上的單調遞減

　　高中數學反證法綜合測試題 3

　　一、選擇題:

　　1．以下元素的全體不能夠構成集合的是（）

　　A. 中國古代四大發明 B. 地球上的小河流

　　C. 方程的實數解 D. 周長為10cm的三角形

　　2．給出下列關系：① ； ② ；③ ；④ . 其中正確的個數是（）

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　3．有下列說法：（ 1）0與{0}表示同一個集合；（2）由1,2,3組成的集合可表示為或{3，2，1}；（3）方程的所有解的集合可表示為{1，1，2}；（4）集合是有限集. 其中正確的說法是（）

　　A. 只有（1）和（4） B. 只有（2）和（3）

　　C. 只有（2） D. 以上四種說法都不對

　　4．下列各組中的兩個集合M和N, 表示同一集合的是（）

　　A. , B. ,

　　C. , D. ,

　　5．下面有四個語句：

　　①集合N*中最小的數是0；②－aN，則aN；③aN，bN，則a＋b的`最小值是2；④x2＋1＝2x的解集中含有2個元素．

　　其中正確語句的個數是()．

　　A．0 B．1 C．2 D．3

　　6．下列所給關系正確的個數是()．

　　①R； ②3Q； ③0N*； ④|－4|N*.

　　A．1 B．2 C．3 D．4

　　二、填空題:

　　7．已知實數，集合，則a與B的關系是 .

　　8．方程組的解集是

　　9.已知，則集合中元素x所應滿足的條件為 .

　　三、解答題：

　　10.擇適當的方法表示下列集合：

　　（1）二次函數的函數值組成的集合；

　　（2）函數的自變量的值組成的集合.

　　11.知集合，試用列舉法表示集合A.

　　12.集合，若，求實數的值．

　　1.1.1（1）集合的含義與表示答案

　　16 BCC DAB

　　8 ,

　　10,(1)

　　(2) .

　　11,

　　12,

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