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初二數學下冊單元試題及答案解析
導讀：數學的學習要求考生一定要認真仔細。下面是應屆畢業生小編為大家搜集整理出來的有關于初二數學下冊單元試題及答案解析，想了解更多相關資訊請繼續關注考試網!
一.細心選一選：(本大題12個小題，每小題4分，共48分)在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將正確答案的代號填在表格中.
1.在分式中，x的取值范圍是( )
A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1
2.在以下回收、綠色食品、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根，則α+β的值是( )
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
4.如圖，反比例函數y=的圖象過點A，過點A分別向x軸和y軸作垂線，垂足為B和C.若矩形ABOC的面積為2，則k的值為( )
A. 4 B. 2 C. 1 D.
5.如圖所示，ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是CD中點，連接OE，若OE=3cm，則AD的長為( )
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
6.方程x2+6x﹣5=0的左邊配成完全平方后所得方程為( )
A. (x+3)2=14 B. (x﹣3)2=14 C. D. (x+3)2=4
7.一個多邊形的每個內角都是108°，那么這個多邊形是( )
A. 五邊形 B. 六邊形 C. 七邊形 D. 八邊形
8.分式方程的解是( )
A. x=﹣5 B. x=5 C. x=﹣3 D. x=3
9.如圖，菱形ABCD中，已知∠D=110°，則∠BAC的度數為( )
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
10.若關于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍( )
A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1
11.下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規律組成，其中，第(1)個圖形中面積為1的正方形有9個，第(2)個圖形中面積為1的正方形有14個，…，按此規律.則第(10)個圖形中面積為1的正方形的個數為( )
A. 72 B. 64 C. 54 D. 50
12.已知四邊形OABC是矩形，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，雙曲線與邊BC交于點D、與對角線OB交于點中點E，若△OBD的面積為10，則k的值是( )
A. 10 B. 5 C. D.
二、耐心填一填(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)請將每小題的正確答案填入下面的表格中.
13.分解因式：2m2﹣2= .
14.若分式的值為零，則x= .
15.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=4，∠AOD=120°，則對角線AC的長度為 .
16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一個根，則m的值是 .
17.由于天氣炎熱，某校根據《學校衛生工作條例》，為預防“蚊蟲叮咬”，對教室進行“薰藥消毒”.已知藥物在燃燒機釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量y(毫克)與燃燒時間x(分鐘)之間的關系如圖所示(即圖中線段OA和雙曲線在A點及其右側的部分)，當空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時，對人體無毒害作用，那么從消毒開始，至少在 分鐘內，師生不能呆在教室.
18.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，將∠BAD繞著點A順時針旋轉α°(0<α<45)，得到∠B′AD′，其中過點B作與對角線BD垂直的直線交射線AB′于點E，射線AD′與對角線BD交于點F，連接CF，并延長交AD于點M，當滿足S四邊形AEBF=S△CDM時，線段BE的長度為 .
三.解答題(本大題共4個小題，19題10分，20題8分，21題8分，22題8分，共34分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
19.解方程：
(1)x2﹣6x﹣2=0
(2)=+1.
20.如圖，在ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F，連接BD.
(1)求證：△ABE≌△CDF;
(2)若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形.
21.如圖，一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象過點P(﹣，0)，且與反比例函數y=(m≠0)的圖象相交于點A(﹣2，1)和點B.
(1)求一次函數和反比例函數的解析式;
(2)求點B的坐標，并根據圖象回答：當x在什么范圍內取值時，一次函數的函數值小于反比例函數的函數值?
22.童裝店在服裝銷售中發現：進貨價每件60元，銷售價每件100元的某童裝平均每天可售出20件.為了迎接“六一”，童裝店決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利.經調查發現：如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件，
(1)降價前，童裝店每天的利潤是多少元?
(2)如果童裝店每要每天銷售這種童裝盈利1200元，同時又要使顧客得到更多的實惠，那么每件童裝應降價多少元?
四、解答題(本大題共2個小題，每小題10分，共20分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
23.先化簡，再求值：(﹣)÷(﹣1)，其中a是方程a2﹣4a+2=0的解.
24.在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)的“非常距離”，給出如下定義：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|y1﹣y2|.
例如：點P1(1，2)，點P1(3，5)，因為|1﹣3|<|2﹣5|，所以點P1與點P2的“非常距離”為|2﹣5|=3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值(點Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點).
(1)已知點A(﹣)，B為y軸上的一個動點，①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出滿足條件的點B的坐標;②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值;
(2)如圖2，已知C是直線上的一個動點，點D的坐標是(0，1)，求點C與點D的“非常距離”最小時，相應的點C的坐標.
五.解答題(本大題共2個小題，25題12分，26題12分，共24分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
25.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上任意一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF.
(1)如圖1，當E是線段AC的中點，且AB=2時，求△ABC的面積;
(2)如圖2，當點E不是線段AC的中點時，求證：BE=EF;
(3)如圖3，當點E是線段AC延長線上的任意一點時，(2)中的結論是否成立?若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由.
26.如圖，已知點A是直線y=2x+1與反比例函數y=(x>0)圖象的交點，且點A的橫坐標為1.
(1)求k的值;
(2)如圖1，雙曲線y=(x>0)上一點M，若S△AOM=4，求點M的坐標;
(3)如圖2所示，若已知反比例函數y=(x>0)圖象上一點B(3，1)，點P是直線y=x上一動點，點Q是反比例函數y=(x>0)圖象上另一點，是否存在以P、A、B、Q為頂點的平行四邊形?若存在，請直接寫出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.
參考答案與試題解析
一.細心選一選：(本大題12個小題，每小題4分，共48分)在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將正確答案的代號填在表格中.
1.在分式中，x的取值范圍是( )
A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1
考點： 分式有意義的條件.
分析： 根據分式有意義，分母不等于0列式計算即可得解.
解答： 解：由題意得，x﹣1≠0，
解得x≠1.
故選A.
點評： 本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：
(1)分式無意義分母為零;
(2)分式有意義分母不為零;
(3)分式值為零分子為零且分母不為零.
2.在以下回收、綠色食品、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
考點： 軸對稱圖形.
分析： 根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷利用排除法求解.
解答： 解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤;
B、是軸對稱圖形，故本選項正確;
C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤;
D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤.
故選;B.
點評： 本題考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.
3.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根，則α+β的值是( )
A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3
考點： 根與系數的關系.
分析： 根據根與系數的關系得到α+β=﹣=2，即可得出答案.
解答： 解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根，
∴α+β=﹣=2;
故選A.
點評： 本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2=﹣，x1x2=.
4.如圖，反比例函數y=的圖象過點A，過點A分別向x軸和y軸作垂線，垂足為B和C.若矩形ABOC的面積為2，則k的值為( )
A. 4 B. 2 C. 1 D.
考點： 反比例函數系數k的幾何意義.
分析： 設點A的坐標為(x，y)，用x、y表示OB、AB的長，根據矩形ABOC的面積為2，列出算式求出k的值.
解答： 解：設點A的坐標為(x，y)，
則OB=x，AB=y，
∵矩形ABOC的面積為2，
∴k=xy=2，
故選：B.
點評： 本題考查反比例函數系數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k|.
5.如圖所示，ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是CD中點，連接OE，若OE=3cm，則AD的長為( )
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
考點： 三角形中位線定理;平行四邊形的性質.
分析： 由平行四邊形的性質，易證OE是中位線，根據中位線定理求解.
解答： 解：根據平行四邊形基本性質：平行四邊形的對角線互相平分.可知點O是BD中點，所以OE是△BCD的中位線.
根據中位線定理可知AD=2OE=2×3=6(cm).
故選B.
點評： 主要考查了平行四邊形的基本性質和中位線性質，并利用性質解題.平行四邊形基本性質：①平行四邊形兩組對邊分別平行;②平行四邊形的兩組對邊分別相等;③平行四邊形的兩組對角分別相等;④平行四邊形的對角線互相平分.
6.方程x2+6x﹣5=0的左邊配成完全平方后所得方程為( )
A. (x+3)2=14 B. (x﹣3)2=14 C. D. (x+3)2=4
考點： 解一元二次方程-配方法.
專題： 配方法.
分析： 配方法的一般步驟：
(1)把常數項移到等號的右邊;
(2)把二次項的系數化為1;
(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方.
解答： 解：由原方程移項，得
x2+6x=5，
等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方，即32，得
x2+6x+9=5+9，
∴(x+3)2=14.
故選A.
點評： 此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用.選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數.
7.一個多邊形的每個內角都是108°，那么這個多邊形是( )
A. 五邊形 B. 六邊形 C. 七邊形 D. 八邊形
考點： 多邊形內角與外角.
分析： 利用多邊形的內角和=180(n﹣2)可得.
解答： 解：108=180(n﹣2)÷n
解得n=5.
故選A.
點評： 本題主要考查了多邊形的內角和定理.
8.分式方程的解是( )
A. x=﹣5 B. x=5 C. x=﹣3 D. x=3
考點： 解分式方程.
專題： 計算題.
分析： 觀察可得最簡公分母是(x+1)(x﹣1)，方程兩邊乘以最簡公分母，可以把分式方程化為整式方程，再求解.
解答： 解：方程兩邊同乘以(x+1)(x﹣1)，
得3(x+1)=2(x﹣1)，
解得x=﹣5.
經檢驗：x=﹣5是原方程的解.
故選A.
點評： (1)解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要驗根.
9.如圖，菱形ABCD中，已知∠D=110°，則∠BAC的度數為( )
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
考點： 菱形的性質.
專題： 計算題.
分析： 先根據菱形的對邊平行和直線平行的性質得到∠BAD=70°，然后根據菱形的每一條對角線平分一組對角求解.
解答： 解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥AB，
∴∠BAD=180°﹣∠D=180°﹣110°=70°，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠BAD=35°.
故選B.
點評： 本題考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質;菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角;菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.
10.若關于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍( )
A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1
考點： 根的判別式;一元二次方程的定義.
專題： 計算題.
分析： 根據根的判別式和一元二次方程的定義，令△>0且二次項系數不為0即可.
解答： 解：∵關于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有兩個不相等的實數根，
∴△>0，
即(﹣6)2﹣4×9k>0，
解得，k<1，
∵為一元二次方程，
∴k≠0，
∴k<1且k≠0.
故選A.
點評： 本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義，要知道：(1)△>0方程有兩個不相等的實數根;
(2)△=0方程有兩個相等的實數根;(3)△<0方程沒有實數根.
11.下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規律組成，其中，第(1)個圖形中面積為1的正方形有9個，第(2)個圖形中面積為1的正方形有14個，…，按此規律.則第(10)個圖形中面積為1的正方形的個數為( )
A. 72 B. 64 C. 54 D. 50
考點： 規律型：圖形的變化類.
分析： 由第1個圖形有9個邊長為1的小正方形，第2個圖形有9+5=14個邊長為1的小正方形，第3個圖形有9+5×2=19個邊長為1的小正方形，…由此得出第n個圖形有9+5×(n﹣1)=5n+4個邊長為1的小正方形，由此求得答案即可.
解答： 解：第1個圖形邊長為1的小正方形有9個，
第2個圖形邊長為1的小正方形有9+5=14個，
第3個圖形邊長為1的小正方形有9+5×2=19個，
…
第n個圖形邊長為1的小正方形有9+5×(n﹣1)=5n+4個，
所以第10個圖形中邊長為1的小正方形的個數為5×10+4=54個.
故選：C.
點評： 此題考查圖形的變化規律，找出圖形與數字之間的運算規律，利用規律解決問題.
12.已知四邊形OABC是矩形，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，雙曲線與邊BC交于點D、與對角線OB交于點中點E，若△OBD的面積為10，則k的值是( )
A. 10 B. 5 C. D.
考點： 反比例函數系數k的幾何意義.
分析： 設雙曲線的解析式為：y=，E點的坐標是(x，y)，根據E是OB的中點，得到B點的坐標，求出點E的坐標，根據三角形的面積公式求出k.
解答： 解：設雙曲線的解析式為：y=，E點的坐標是(x，y)，
∵E是OB的中點，
∴B點的坐標是(2x，2y)，
則D點的坐標是(，2y)，
∵△OBD的面積為10，
∴×(2x﹣)×2y=10，
解得，k=，
故選：D.
點評： 本題考查反比例系數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k|.
二、耐心填一填(本大題共6個小題，每小題4分，共24分)請將每小題的正確答案填入下面的表格中.
13.分解因式：2m2﹣2= 2(m+1)(m﹣1) .
考點： 提公因式法與公式法的綜合運用.
專題： 壓軸題.
分析： 先提取公因式2，再對剩余的多項式利用平方差公式繼續分解因式.
解答： 解：2m2﹣2，
=2(m2﹣1)，
=2(m+1)(m﹣1).
故答案為：2(m+1)(m﹣1).
點評： 本題考查了提公因式法，公式法分解因式，關鍵在于提取公因式后繼續利用平方差公式進行二次因式分解.
14.若分式的值為零，則x= ﹣3 .
考點： 分式的值為零的條件.
專題： 計算題.
分析： 分式的值為零，分子等于0，分母不為0.
解答： 解：根據題意，得
|x|﹣3=0且x﹣3≠0，
解得，x=﹣3.
故答案是：﹣3.
點評： 本題考查了分式的值為0的條件.若分式的值為零，需同時具備兩個條件：(1)分子為0;(2)分母不為0.這兩個條件缺一不可.
15.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=4，∠AOD=120°，則對角線AC的長度為 8 .
考點： 矩形的性質;含30度角的直角三角形.
分析： 由矩形的性質得出OA=OB，再證明△AOB是等邊三角形，得出OA=OB=AB=4，得出AC=2OA即可.
解答： 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA=OB=AB=4，
∴AC=2OA=8;
故答案為：8.
點評： 本題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質;熟練掌握矩形的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵.
16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一個根，則m的值是 ﹣3 .
考點： 一元二次方程的解.
分析： 將x=2代入方程即可得到一個關于m的方程，解方程即可求出m值.
解答： 解：把x=2代入方程可得：4+2m+2=0，
解得m=﹣3.
故答案為﹣3.
點評： 本題主要考查了方程的解的定義，把求未知系數的問題轉化為方程求解的問題.
17.由于天氣炎熱，某校根據《學校衛生工作條例》，為預防“蚊蟲叮咬”，對教室進行“薰藥消毒”.已知藥物在燃燒機釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量y(毫克)與燃燒時間x(分鐘)之間的關系如圖所示(即圖中線段OA和雙曲線在A點及其右側的部分)，當空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時，對人體無毒害作用，那么從消毒開始，至少在 75 分鐘內，師生不能呆在教室.
考點： 反比例函數的應用.
分析： 首先根據題意，藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成正比例;藥物釋放完畢后，y與x成反比例，將數據代入用待定系數法可得反比例函數的關系式;進一步求解可得答案.
解答： 解：設反比例函數解析式為y=(k≠0)，
將(25，6)代入解析式得，k=25×6=150，
則函數解析式為y=(x≥15)，
當y=2時，=2，
解得x=75.
答：從消毒開始，師生至少在75分鐘內不能進入教室.
點評： 本題考查了反比例函數的應用，現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式.
18.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，將∠BAD繞著點A順時針旋轉α°(0<α<45)，得到∠B′AD′，其中過點B作與對角線BD垂直的直線交射線AB′于點E，射線AD′與對角線BD交于點F，連接CF，并延長交AD于點M，當滿足S四邊形AEBF=S△CDM時，線段BE的長度為 2﹣2 .
考點： 旋轉的性質;正方形的性質.
分析： 先根據旋轉的性質得∠EAB=∠FAD=α，再根據正方形的性質得AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，則利用BE⊥BD得∠EBA=∠FDA=45°，于是可根據“ASA”判定△ABE≌△ADF，得到S△ABE=S△ADF，所以S四邊形AEBF=S△ABD=4，則S△CDM=2，利用三角形面積公式可計算出DM=2，延長AB到M′使BM′=DM=2，如圖，接著根據勾股定理計算出CM=2，再通過證明△BCM≌△DCM得到CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，然后證∠M′NC=∠M′CN得到M′N=M′C=2，則BN=M′C﹣BM′=2﹣2.
解答： 解：∵∠BAD繞著點A順時針旋轉α°(0<α<45°)，得到∠B′AD′，
∴∠EAB=∠FAD=α，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∵BE⊥BD，
∴∠EBD=90°，
∴∠EBA=45°，
∴∠EBA=∠FDA，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF(ASA)，
∴S△ABE=S△ADF，
∴S四邊形AEBF=S△ABE+S△ABF=S△ADF+S△ABF=S△ABD=×2×2=4，
∵S四邊形AEBF=S△CDM，
∴S△CDM==2，
∴DM2=2，解得DM=2，
延長AB到M′使BM′=DM=2，如圖，
在Rt△CDM中，CM==2，
在△BCM′和△DCM中
，
∴△BCM≌△DCM(SAS)，
∴CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠M′NC=∠DCN=∠DCM+∠NCM=∠BCM′+∠NCM，
而NC平分∠BCM，
∴∠NCM=∠BCN，
∴∠M′NC=∠BCM′+∠BCN=∠M′CN，
∴M′N=M′C=2，
∴BN=M′C﹣BM′=2﹣2.
故答案為：2﹣2.
點評： 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;旋轉前、后的圖形全等.也考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質.
三.解答題(本大題共4個小題，19題10分，20題8分，21題8分，22題8分，共34分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
19.解方程：
(1)x2﹣6x﹣2=0
(2)=+1.
考點： 解一元二次方程-配方法;解分式方程.
分析： (1)移項，配方，再開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)先把分式方程轉化成整式方程，求出方程的解，再進行檢驗即可.
解答： 解：(1)x2﹣6x﹣2=0，
x2﹣6x=2，
x2﹣6x+9=2+9，
(x﹣3)2=11，
x﹣3=，
x1=3+，x2=3﹣;
(2)方程兩邊都乘以x﹣2得：1﹣x=﹣1+x﹣2，
解這個方程得：x=2，
檢驗：當x=2時，x﹣2=0，
所以x=2不是原方程的解，
所以原方程無解.
點評： 本題考查了解一元二次方程，解分式方程的應用，解(1)小題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程，解分式方程的關鍵是能把分式方程轉化成整式方程.
20.如圖，在ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F，連接BD.
(1)求證：△ABE≌△CDF;
(2)若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形.
考點： 矩形的判定;全等三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.
專題： 證明題.
分析： (1)根據平行四邊形性質得出AB=CD，∠A=∠C.求出∠ABD=∠CDB.推出∠ABE=∠CDF，根據ASA推出全等即可;
(2)根據全等得出AE=CF，根據平行四邊形性質得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四邊形DFBE是平行四邊形，根據等腰三角形性質得出∠DEB=90°，根據矩形的判定推出即可.
解答： 證明：(1)在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C.
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB.
∴∠ABE=∠CDF.
∵在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四邊形DFBE是平行四邊形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°.
∴平行四邊形DFBE是矩形.
點評： 本題考查了平行線的性質，平行四邊形的性質和判定，矩形的判定，全等三角形的性質和判定，角平分線定義等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力.
21.如圖，一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象過點P(﹣，0)，且與反比例函數y=(m≠0)的圖象相交于點A(﹣2，1)和點B.
(1)求一次函數和反比例函數的解析式;
(2)求點B的坐標，并根據圖象回答：當x在什么范圍內取值時，一次函數的函數值小于反比例函數的函數值?
考點： 反比例函數與一次函數的交點問題.
專題： 數形結合;待定系數法.
分析： (1)根據待定系數法，可得函數解析式;
(2)根據二元一次方程組，可得函數圖象的交點，根據一次函數圖象位于反比例函數圖象的下方，可得答案.
解答： 解：(1)一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象過點P(﹣，0)和A(﹣2，1)，
∴，解得，
∴一次函數的解析式為y=﹣2x﹣3，
反比例函數y=(m≠0)的圖象過點A(﹣2，1)，
∴，解得m=﹣2，
∴反比例函數的解析式為y=﹣;
(2)，
解得，或，
∴B(，﹣4)
由圖象可知，當﹣2時，一次函數的函數值小于反比例函數的函數值.
點評： 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法是求函數解析式的關鍵.
22.童裝店在服裝銷售中發現：進貨價每件60元，銷售價每件100元的某童裝平均每天可售出20件.為了迎接“六一”，童裝店決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利.經調查發現：如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件，
(1)降價前，童裝店每天的利潤是多少元?
(2)如果童裝店每要每天銷售這種童裝盈利1200元，同時又要使顧客得到更多的實惠，那么每件童裝應降價多少元?
考點： 一元二次方程的應用.
專題： 銷售問題.
分析： (1)用降價前每件利潤×銷售量列式計算即可;
(2)設每件童裝降價x元，利用童裝平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售這種童裝利潤列出方程解答即可.
解答： 解：(1)童裝店降價前每天銷售該童裝可盈利：
(100﹣60)×20=800(元);
(2)設每件童裝降價x元，根據題意，得
(100﹣60﹣x)(20+2x)=1200，
解得：x1=10，x2=20.
∵要使顧客得到更多的實惠，
∴取x=20.
答：童裝店應該降價20元.
點評： 此題主要考查了一元二次方程的實際應用和二次函數實際中的應用，此題找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出方程或函數關系式是解決問題的關鍵.最后要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.
四、解答題(本大題共2個小題，每小題10分，共20分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
23.先化簡，再求值：(﹣)÷(﹣1)，其中a是方程a2﹣4a+2=0的解.
考點： 分式的化簡求值;一元二次方程的解.
專題： 計算題.
分析： 原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加減法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把已知等式變形后代入計算即可求出值.
解答： 解：原式=[﹣]÷==，
由a2﹣4a+2=0，得a2﹣4a=﹣2，
則原式=.
點評： 此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.
24.在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)的“非常距離”，給出如下定義：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|y1﹣y2|.
例如：點P1(1，2)，點P1(3，5)，因為|1﹣3|<|2﹣5|，所以點P1與點P2的“非常距離”為|2﹣5|=3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值(點Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點).
(1)已知點A(﹣)，B為y軸上的一個動點，①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出滿足條件的點B的坐標;②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值;
(2)如圖2，已知C是直線上的一個動點，點D的坐標是(0，1)，求點C與點D的“非常距離”最小時，相應的點C的坐標.
考點： 一次函數綜合題.
分析： (1)①根據點B位于y軸上，可以設點B的坐標為(0，y).由“非常距離”的定義可以確定|0﹣y|=2，據此可以求得y的值;
②設點B的坐標為(0，y)，根據|﹣﹣0|≥|0﹣y|，得出點A與點B的“非常距離”最小值為|﹣﹣0|，即可得出答案;
(2)設點C的坐標為(x0，x0+3).根據材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”知，C、D兩點的“非常距離”的最小值為﹣x0=x0+2，據此可以求得點C的坐標;
解答： 解：(1)①∵B為y軸上的一個動點，
∴設點B的坐標為(0，y).
∵|﹣﹣0|=≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2;
∴點B的坐標是(0，2)或(0，﹣2);
②設點B的坐標為(0，y).
∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，
∴點A與點B的“非常距離”最小值為|﹣﹣0|=;
(2)如圖2，取點C與點D的“非常距離”的最小值時，需要根據運算定義“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，
則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”解答，此時|x1﹣x2|=|y1﹣y2|.
即AC=AD，
∵C是直線y=x+3上的一個動點，點D的坐標是(0，1)，
∴設點C的坐標為(x0，x0+3)，
∴﹣x0=x0+2，
此時，x0=﹣，
∴點C與點D的“非常距離”的最小值為：|x0|=，
此時C(﹣，).
點評： 本題考查了一次函數綜合題.對于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件.本題中的“非常距離”的定義是正確解題的關鍵.
五.解答題(本大題共2個小題，25題12分，26題12分，共24分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟.
25.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上任意一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF.
(1)如圖1，當E是線段AC的中點，且AB=2時，求△ABC的面積;
(2)如圖2，當點E不是線段AC的中點時，求證：BE=EF;
(3)如圖3，當點E是線段AC延長線上的任意一點時，(2)中的結論是否成立?若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由.
考點： 四邊形綜合題.
分析： (1)根據菱形的性質證明△ABC是等邊三角形和AB=2，求出△ABC的面積;
(2)作EG∥BC交AB于G，證明△BGE≌△ECF，得到BE=EF;
(3)作EH∥BC交AB的延長線于H，證明△BHE≌△ECF，得到BE=EF.
解答： 解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，又E是線段AC的中點，
∴BE⊥AC，AE=AB=1，
∴BE=，
∴△ABC的面積=×AC×BE=;
(2)如圖2，作EG∥BC交AB于G，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△AGE是等邊三角形，
∴BG=CE，
∵EG∥BC，∠ABC=60°，
∴∠BGE=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ECF=120°，
∴∠BGE=∠ECF，
在△BGE和△ECF中，
，
∴△BGE≌△ECF，
∴EB=EF;
(3)成立，
如圖3，作EH∥BC交AB的延長線于H，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△AHE是等邊三角形，
∴BH=CE，
在△BHE和△ECF中，
，
∴△BHE≌△ECF，
∴EB=EF.
點評： 本題考查的是菱形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質，正確作出輔助線、靈活運用相關的判定定理和性質定理是解題的關鍵.
26.如圖，已知點A是直線y=2x+1與反比例函數y=(x>0)圖象的交點，且點A的橫坐標為1.
(1)求k的值;
(2)如圖1，雙曲線y=(x>0)上一點M，若S△AOM=4，求點M的坐標;
(3)如圖2所示，若已知反比例函數y=(x>0)圖象上一點B(3，1)，點P是直線y=x上一動點，點Q是反比例函數y=(x>0)圖象上另一點，是否存在以P、A、B、Q為頂點的平行四邊形?若存在，請直接寫出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.
考點： 反比例函數綜合題.
分析： (1)點A是直線y=2x+1的點，點A的橫坐標為1，代入y=2×1+1=3，求得點A即可得到結果;
(2)如圖1，設點M(m，)，過A作AE⊥x軸于E，過M作MF⊥x軸于F，根據題意得：S△AOM=S梯形AEFM=(3+)(m﹣1)=4，解方程即可得到結果;
(3)首先求得反比例函數的解析式，然后設P(m，m)，分若PQ為平行四邊形的邊和若PQ為平行四邊形的對角線兩種情況分類討論即可確定點Q的坐標.
解答： 解：(1)∵點A是直線y=2x+1的點，點A的橫坐標為1，
∴y=2×1+1=3，
∴A(1，3)，
∵點A是反比例函數y=(x>0)圖象上的點，
∴k=3;
(2)如圖1，設點M(m，)，過A作AE⊥x軸于E，過M作MF⊥x軸于F，
根據題意得：S△AOM=S梯形AEFM=(3+)(m﹣1)=4，
解得：m=3(負值舍去)，
∴M(3，1);
(3)∵反比例函數y=(x>0)圖象經過點A(1，3)，
∴k=1×3=3，
∴反比例函數的解析式為y=，
∵點P在直線y=x上，
∴設P(m，m)
，若PQ為平行四邊形的邊，
∵點A的橫坐標比點B的橫坐標小2，點A的縱坐標比點B的縱坐標大2，
∴點Q在點P的下方，則點Q的坐標為(m+2，m﹣2)如圖2，
若點Q在點P的上方，則點Q的坐標為(m﹣2，m+2)如圖3，
把Q(m+2，m﹣2)代入反比例函數的解析式得：m=±，
∵m>0，
∴m=，
∴Q1(+2，﹣2)，
同理可得另一點Q2(﹣2，+2);
②若PQ為平行四邊形的對角線，如圖4，
∵A、B關于y=x對稱，
∴OP⊥AB
此時點Q在直線y=x上，且為直線y=x與雙曲線y=的交點，
由
解得，(舍去)
∴Q3(，)
綜上所述，滿足條件的點Q有三個，坐標分別為：Q1(+2，﹣2)，Q2(﹣2，+2)，Q3(，).
點評： 本題考查了反比例函數的性質，待定系數法求函數的解析式，平行四邊形的判定和性質，準確的畫出圖形是解題的關鍵.
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