實數基本定理及閉區間上連續函數性質證明

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　　§1. 關于實數的基本定理

實數基本定理及閉區間上連續函數性質證明

　　一子列定義1 在數列 EMBED Equation.DSMT4 中，保持原來次序自左至右任一選區無限多項，構成新的數列，就稱為 EMBED Equation.DSMT4 的子列，記為 EMBED Equation.DSMT4 。子列的極限和原數列的極限的關系

　　定理1 EMBED Equation.DSMT4 若 EMBED Equation.DSMT4 ，則 EMBED Equation.DSMT4 的任何子列 EMBED Equation.DSMT4 都收斂，并且它的極限也等于 EMBED Equation.DSMT4 。

　　注：該定理可用來判別 EMBED Equation.DSMT4 不收斂。例：證明 EMBED Equation.DSMT4 不收斂。

　　推論：若對任何 EMBED Equation.DSMT4 ： EMBED Equation.DSMT4 都有 EMBED Equation.DSMT4 收斂，則 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 的極限存在。

　　二上確界和下確界上確界的定義，下確界的定義

　　定理2 非空有上界數集必有上確界;非空有下界數集必有下確界。

　　定理3 單調有界數列必收斂.

　　三區間套定理區間套: 設 EMBED Equation.DSMT4 是一閉區間序列. 若滿足條件

　　ⅰ> 對 EMBED Equation.DSMT4 , 有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ;

　　ⅱ> EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .

　　則稱該閉區間序列為為區間套 .

　　注：區間套是指一個 “閉、縮、套” 區間列.( 都不是).

　　例： EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 都是區間套.但 EMBED Equation.DSMT4

　　定理4設 EMBED Equation.DSMT4 是一閉區間套. 則存在唯一的點 EMBED Equation.DSMT4 屬于所有的區間。

　　注：區間套中的任何一個條件去掉，定理一般將不成立。

　　四致密性定理

　　定理5 任一有界數列必有收斂子列。

　　推論若 EMBED Equation.DSMT4 是一個無界數列，則存在子列 EMBED Equation.DSMT4 。

　　五 Cauchy收斂原理

　　定理6 數列 EMBED Equation.DSMT4 收斂 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 當 EMBED Equation.DSMT4 時，有 EMBED Equation.DSMT4 。

　　注：定理可通過數列本身來判別它收斂還是發散。

　　例：設 EMBED Equation.DSMT4 ，證明 EMBED Equation.DSMT4 發散。

　　例：設 EMBED Equation.DSMT4 ，證明 EMBED Equation.DSMT4 收斂。

　　六有限覆蓋定理復蓋: 先介紹區間族 EMBED Equation.DSMT4 .

　　定義 (復蓋 )：設 EMBED Equation.DSMT4 是一個數集, EMBED Equation.DSMT4 是區間族.若對 EMBED Equation.DSMT4 使得 EMBED Equation.DSMT4 , 則稱區間族 EMBED Equation.DSMT4 復蓋了 EMBED Equation.DSMT4 , 或稱區間族 EMBED Equation.DSMT4 是數集 EMBED Equation.DSMT4 的一個復蓋. 記為 EMBED Equation.DSMT4 若每個 EMBED Equation.DSMT4 都是開區間，則稱區間族 EMBED Equation.DSMT4 是開區間族.開區間族常記為 EMBED Equation.DSMT4 .

　　定義 (開復蓋 )：數集 EMBED Equation.DSMT4 的一個開區間族復蓋稱為 EMBED Equation.DSMT4 的一個開復蓋,簡稱為 EMBED Equation.DSMT4 的一個復蓋.

　　子復蓋、有限復蓋、有限子復蓋.

　　例： EMBED Equation.DSMT4 復蓋了區間 EMBED Equation.DSMT4 , 但不能復蓋 EMBED Equation.DSMT4 。

　　定理7 閉區間 EMBED Equation.DSMT4 的任一開復蓋必有有限子復蓋。

　　注：在定理的條件中，若 EMBED Equation.DSMT4 不是開區間集，或 EMBED Equation.DSMT4 為非閉區間，則從 EMBED Equation.DSMT4 中就不一定能選出有限個區間來覆蓋。

　　§2閉區間上連續函數性質的證明

　　一有界性定理定理1 閉區間 EMBED Equation.DSMT4 上的連續函數必定有界。

　　注：開區間上的連續函數既可能有界，也可能無界。

　　二最大值和最小值定理定理2 閉區間 EMBED Equation.DSMT4 上的連續函數必定有最大值和最小值。

　　三零點存在定理定理3 EMBED Equation.DSMT4 在閉區間 EMBED Equation.DSMT4 連續，且 EMBED Equation.DSMT4 ，則 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 內至少有一個根。

　　證法一(用區間套定理); 證法二(用確界原理); 證法三 (用有限復蓋定理)。

　　四一致連續性定理定理4 閉區間 EMBED Equation.DSMT4 上的連續函數 EMBED Equation.DSMT4 必定一致連續。

　　證法一 (用區間套定理); 證法二 (用致密性定理)。

　　武夷學院經濟與數學系《數學分析》授課教案

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