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昌平區高二上學期理科數學期末考試題及答案
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(滿分150分，考試時間 120分鐘)
考生須知：
1. 本試卷共6頁，分第Ⅰ卷選擇題和第Ⅱ卷非選擇題兩部分。
2. 答題前考生務必將答題卡上的學校、班級、姓名、考試編號用黑色字跡的簽字筆填寫。
3. 答題卡上第I卷(選擇題)必須用2B鉛筆作答，第II卷(非選擇題)必須用黑色字跡的簽字筆作答，作圖時可以使用2B鉛筆。請按照題號順序在各題目的答題區內作答，未在對應的答題區域內作答或超出答題區域作答的均不得分。
4. 修改時，選擇題部分用塑料橡皮擦涂干凈，不得使用涂改液。保持答題卡整潔，不要折疊、折皺、破損。不得在答題卡上做任何標記。
5. 考試結束后，考生務必將答題卡交監考老師收回，試卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷(選擇題 共50分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.)
(1)拋物線 的焦點到準線的距離為
(A) (C) (C) (D)
(2)過點 且傾斜角為 的直線方程為
(A) ( B)
( C) ( D)
(3)若命題 是真命題，命題 是假命題，則下列命題一定是真命題的是
(A) (B) (C) (D)
(4)已知平面 和直線 ，若 ，則“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要條件 ( B)必要而不充分條件
( C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
(5)如圖，在正方體 中，點 分別是面對角線 的中點，若 則
(A) ( B)
( C) ( D)
(6)已知雙曲線 的離心率為 ，則其漸近線方程為
(A) ( B) ( C) ( D)
(7)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是
(A)
( B)
(8)從點 向圓 作切線，當切線長最短時 的值為
(A) (B) (C) (D)
(9)已知點 是橢圓 的焦點，點 在橢圓 上且滿足 ，
則 的面積為
(A) (B) (C) (D)
(10) 如圖，在棱長為1的正方體 中，點 是左側面 上的一個動點，滿足 ，則 與 的夾角的最大值為
(A)
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
(11)若命題 ，則 .
(12) 已知 ， ，則 ______________.
(13)若直線 與直線 平行，則 的值為____ .
(14)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，設 ，
， 是 的中點，則 所成角的
大小為____________， ___________.
(15)已知 是拋物線 上的一點，過點 向其準線作垂線交于點 ，定點 ，則
的最小值為_________;此時點 的坐標為_________ .
(16)已知直線 .若存在實數 ，使直線 與曲線 交于 兩點，
且 ，則稱曲線 具有性質 .給定下列三條曲線方程：
① ; ② ; ③ .
其中，具有性質 的曲線的序號是________________ .
三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
(17)(本小題滿分14分)
已知圓 .
(I)求過點 的圓 的切線方程;
(II)若直線 與圓 相交于 兩點，且弦 的長為 ，求 的值.
(18)(本小題滿分14分)
在直平行六面體 中，底面 是菱形， ， ， .
(I)求證： ;
(II)求證： ;
(III)求三棱錐 的體積.
(19)(本小題滿分14分)
已知橢圓 的離心率為 ，且經過點 .
(Ⅰ)求橢圓 的標準方程;
(Ⅱ)如果過點 的直線與橢圓交于 兩點( 點與 點不重合)，求證： 為
直角三角形.
(20)(本小題滿分14分)
如圖，在四棱錐 中， ，底面 為直角梯形， ，過 的平面分別交 于 兩點.
(I)求證： ;
(II)若 分別為 的中點，
①求證： ;
②求二面角 的余弦值.
(21)(本小題滿分14分)
拋物線 與直線 相切， 是拋物線上兩個動點， 為拋物線的焦點，且 .
(I) 求 的值;
(II) 線段 的垂直平分線 與 軸的交點是否為定點，若是，求出交點坐標，若不是，說明理由;
(III)求直線 的斜率的取值范圍.
數學試卷參考答案及評分標準 (理科)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B D A A D C C
二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
(11) (12) (13) 或
(14) ; (15) ; (16)②③
三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
(17)(本小題滿分14分)
解：(I)圓 的方程可化為 ，圓心 ，半徑是 . …2分
①當切線斜率存在時，設切線方程為 ，即 . ……3分
因為 ，
所以 . …………6分
②當切線斜率不存在時，直線方程為 ，與圓 相切. ……… 7分
所以過點 的圓 的切線方程為 或 . ………8分
(II)因為弦 的長為 ，
所以點 到直線 的距離為 . ……10分
即 . …………12分
所以 . …………14分
(18)(本小題滿分14分)
證明：(I) 如圖，在直平行六面體 中，
設 ，連接 .
因為 ，
所以四邊形 是平行四邊形.
所以 . ……1分
因為底面 是菱形，
所以 .
所以四邊形 是平行四邊形.
所以 . ……2分
因為 ，
所以 . ……4分
(II)因為 ， ，
所以 . ……5分
因為底面 是棱形，
所以 . ……6分
因為 ，
所以 . ……7分
因為 ， ……8分
所以 . ……9分
(III)由題意可知， ，
所以 為三棱錐 的高. ……10分
因為 .
所以三棱錐 的體積為 . ……14分
(19)(本小題滿分14分)
解：(Ⅰ)因為橢圓經過點 ， ，
所以 . ……1分
由 ，解得 . ……3分
所以橢圓 的標準方程為 . ……4分
(Ⅱ)若過點 的直線 的斜率不存在，此時 兩點中有一個點與 點重合，不滿足題目條件. ……5分
若過點 的直線 的斜率存在，設其斜率為 ，則 的方程為 ，
由 可得 . ……7分
設 ，則
， ……9分
所以 ，
. ……11分
因為 ，
所以
所以 , 為直角三角形得證. ……14分
(20)(本小題滿分14分)
證明：(I)因為底面 為直角梯形，
所以 .
因為
所以 . ……2分
因為 ，
所以 . ……4分
(II)①因為 分別為 的中點， ，
所以 . ……5分
因為
所以 .
因為 ，
所以 .
因為 ，
所以 .
所以 . ……7分
因為 ，
所以
因為 ，
所以 . ……9分
②如圖，以 為坐標原點，建立空間直角坐標系 . ……10分
則 . ……11分
由(II)可知， ，
所以 的法向量為 . ……12分
設平面 的法向量為
因為 ， ,
所以 .即 .
令 ，則 ， .
所以
所以 .
所以二面角 的余弦值為 . ……14分
(21)(本小題滿分14分)
解:(I)因為拋物線 與直線 相切，
所以由 得： 有兩個相等實根. …2分
即 得： 為所求. ……4分
(II)法一：
拋物線 的準線 .且 ，
所以由定義得 ，則 . ………5分
設直線 的垂直平分線 與 軸的交點 .
由 在 的垂直平分線上，從而 ………6分
即 .
所以 .
即 ………8分
因為 ，所以 .
又因為 ，所以 ，
所以點 的坐標為 .
即直線 的垂直平分線 與 軸的交點為定點 . ………10分
法二：
由 可知直線 的斜率存在，
設直線 的方程為 .
由 可得 . ………5分
所以 . ………6分
因為拋物線 的準線 .且 ，
所以由定義得 ，則 . ………7分
所以 .
設線段 的中點為 .
則 .
所以 . ………8分
所以線段 的垂直平分線的方程為 . ………9分
令 ，可得 .
即直線 的垂直平分線 與 軸的交點為定點 . ………10分
(III)法一：
設直線 的斜率為 ，由(II)可設直線 方程為 .
設 的中點 ，由 .可得 .
因為直線 過點 ，
所以 . ………11分
又因為點 在拋物線 的內部，
所以 . …12分
即 ，則 .
因為 ，則 . …13分
所以 的取值范圍為 . ………14分
法二：
設直線 的斜率為 ，則 .
由(II)可知 .
因為 ，即 ， …11分
所以 .
所以 .
即 .
所以 . …12分
因為 ，則 . …13分
所以 的取值范圍為 . ………14分
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