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正定名校高二上學期數學期末考試題及答案
現如今，我們都不可避免地要接觸到考試題，借助考試題可以更好地對被考核者的知識才能進行考察測驗。相信很多朋友都需要一份能切實有效地幫助到自己的考試題吧？下面是小編為大家收集的正定名校高二上學期數學期末考試題及答案，歡迎大家分享。
正定名校高二上學期數學期末考試題及答案 1
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.
1. 已知集合 ，則 ( )
A. B. C. D.
2.復數 ( )
A. B. C. D.
3.拋物線 的焦點到準線的距離為( )
A. B. C. D.
4. ( )
A. B. C.0 D.
5.曲線 在 處的切線平行于直線 ，則 點坐標為( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知函數 ，若將函數 的圖像向左平移 個單位后所得圖像對應的函數為偶函數，則實數 ( )
A. B. C. D.
7.已知 是不等式組 表示的平面區域內的一點， ，O為坐標原點，則 的最大值( )
A. B. C. D.
8.分配 名水暖工去 個不同的居民家里檢查暖氣管道. 要求 名水暖工都分配出去，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
9. 已知 展開式中各項系數和為625，則展開式中含 項的系數為( )
A. B. C. D.
10. 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A. B.
C. D.
11.已知雙曲線 的左、右焦點分別為 ， ，過 的直線與雙曲線 的右支相交于 兩點，若 ，且 ，則雙曲線的`離心率 ( )
A. B. C. D.
12.已知數列 滿足： ，則 ( )
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.
13.在正項等比數列 中，前 項和為 ___________.
14.設向量 與 的夾角為 ,且 ,則 ___________.
15.在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施 個程序，其中程序 只能出現在第一或最后一步，程序 和 在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有 ___________種(用數字作答).
16.已知函數 的導函數為 ，若使得 成立的 ，則實數 的取值范圍為___________.
三、解答題: (本大題共6小題，共70分.)
17.(本題滿分10分)等差數列 中,
(1)求 的通項公式;
(2)設
18.(本題滿分12分)在 中，已知角 、 、 的對邊分別為 ，且 。
(1)求 的大小;
(2)若 ，試判斷 的形狀.
19.(本題滿分12分)某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取 名學生，將其數學成績(均為整數)分成六組 ， ，…， 后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：
(1)求分數在 內的頻率;
(2)估計本次考試的平均分;
(3)用分層抽樣的方法在分數段為 的學生中抽取一個容量為 的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取 人，求至多有 人在分數段 內的概率.
20.(本題滿分12分)如圖：四棱錐 中，底面 是平行四邊形， ，平面 平面 ， ， , 分別為線段 和 的中點.
(1) 求證： 平面 ;
(2)在線段 上是否存在一點 ，使得平面 和平面 所成二面角的大小為 ?若存在，試確定 的位置;若不存在，請說明理由.
21. (本題滿分12分)已知兩點 ，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為 .
(1)求點M的軌跡方程;
(2)記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，過點P且斜率互為相反數的兩條直線分別交曲線C于Q、R，求△OQR的面積的最大值(其中點O為坐標原點).
22.(本題滿分12分)
設 為實數，函數
(1)當 時，求 在 上的最大值;
(2)設函數 ，當 有兩個極值點 時，總有 ，求實數 的值.
答案
一BACCC DDCAA DB
二13. 14. 15. 96 16.
三17.解(Ⅰ)設等差數列 的公差為d,則
因為 ,所以 .
解得, .
所以 的通項公式為 .
(Ⅱ) ,
所以 .
18.解：(1)
(2)
又
又 是等邊三角形
19.解：(1)分數在[120，130)內的頻率為
1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3.
(2)估計平均分為
=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.
(3)由題意，[110，120)分數段的人數為60×0.15=9(人).
在[120，130)分數段的人數為60×0.3=18(人).
∵用分層抽樣的方法在分數段為[110，130)的學生中抽取一個容量為6的樣本，∴需在[110，120)分數段內抽取2人，并分別記為m，n;
在[120，130)分數段內抽取4人，并分別記為a，b，c，d;設“從樣本中任取2人，至多有1人在分數段[120，130)內”為事件A，則基本事件共有{m，n}，{m，a}，…，{m，d}，{n，a}，…，{n，d}，{a，b}，…，{c，d}，共15個.
則事件A包含的基本事件有{m，n}，{m，a}，{m，b}，{m，c}，{m，d}，{n，a}，{n，b}，{n，c}，{n，d}，共9個.
∴P(A)= = .
20.(1)取PA中點為H，連結CE、HE、FH，
因為H、E分別為PA、PD的中點，所以HE∥AD, ,
因為ABCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點
所以FC∥AD,
所以HE∥FC, 四邊形FCEH是平行四邊形 所以EC∥HF
又因為
所以CE∥平面PAF ……………4分
(2)因為四邊形ABCD為平行四邊形且∠ACB=90°，
所以CA⊥AD 又由平面PAD⊥平面ABCD可得
CA⊥平面PAD 所以CA⊥PA
由PA=AD=1，PD= 可知，PA⊥AD…………5分
所以可建立如圖所示的平面直角坐標系A-xyz
因為PA=BC=1，AB= 所以AC=1
所以
假設BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC
所成二面角的大小為60°，
設點G的坐標為(1，a，0)，
所以
設平面PAG的法向量為
則 令
所以
又
設平面PCG的法向量為
則 令 所以
因為平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，所以
所以 又 所以
所以線段BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°點G即為B點.
21.解：(1)設點 ，
整理得點M所在的曲線C的方程： ( )
(2)由題意可得點P( )
直線PQ與直線PR的斜率互為相反數
設直線PQ的方程為 ，
與橢圓方程聯立消去 ，得：
，
由于 1是方程的一個解，
所以方程的另一解為 同理
故直線RQ的斜率為 =
把直線RQ的方程 代入橢圓方程，消去 整理得
所以
原點O到直線RQ的距離為
.
22.(1)當 時， ，
則 ，
∴當 時， ，這時 單調遞增，
當 時， ，這時 單調遞減，
∴ 在 的極大值是 .
(2)由題意可知 ，則 .
根據題意，方程 有兩個不同的實根 ，
∴ ，即 ，且 .
由 ，其中 ，
可得 ，
注意到 ，
∴上式化為 ，
即不等式 對任意的 恒成立，
(i)當 時，不等式 恒成立， ;
(ii)當 時， 恒成立，即 ，
令函數 ，顯然， 是 上的減函數，
∴當 時， ，∴ ，
(iii)當 時， 恒成立，即 ，
由(ii)，當 時， 即 ，
綜上所述， .
正定名校高二上學期數學期末考試題及答案 2
一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
已知函數\(f(x)\)在\(x = 1\)處的導數\(f^\prime(1)=2\)，則\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1 + \Delta x)-f(1)}{2\Delta x}\)的值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【分析】根據導數定義，\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f^\prime(x_0)\)，對所給式子進行變形，\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1 + \Delta x)-f(1)}{2\Delta x}=\frac{1}{2}\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1 + \Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)，因為\(f^\prime(1)=2\)，所以\(\frac{1}{2}\times2 = 1\)，故選 A。
圓\(C_1\)：\(x^2 + y^2 - 2x = 0\)與圓\(C_2\)：\(x^2 + y^2 + 4y = 0\)的位置關系是（ ）
A. 相離 B. 相交 C. 外切 D. 內切
【答案】B
【分析】將圓\(C_1\)方程化為標準方程：\((x - 1)^2 + y^2 = 1\)，圓心\(C_1(1,0)\)，半徑\(r_1 = 1\)；圓\(C_2\)方程化為標準方程：\(x^2+(y + 2)^2 = 4\)，圓心\(C_2(0,-2)\)，半徑\(r_2 = 2\)。兩圓心之間的距離\(d=\sqrt{(1 - 0)^2+(0 + 2)^2}=\sqrt{5}\)，\(r_2 - r_1 = 1\)，\(r_1 + r_2 = 3\)，因為\(1\lt\sqrt{5}\lt3\)，所以兩圓相交，故選 B。
在空間直角坐標系中，已知\(A(1,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(0,0,1)\)，則平面\(ABC\)的一個法向量可以是（ ）
A. \((1,1, - 1)\) B. \((1, - 1,1)\) C. \(( - 1,1,1)\) D. \(( - 1, - 1, - 1)\)
【答案】D
【分析】設平面\(ABC\)的法向量為\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，\(\overrightarrow{AB}=( - 1,1,0)\)，\(\overrightarrow{AC}=( - 1,0,1)\)。由法向量定義\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)且\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)，即\(\begin{cases}-x + y = 0\\-x + z = 0\end{cases}\)，令\(x = - 1\)，則\(y = - 1\)，\(z = - 1\)，所以平面\(ABC\)的一個法向量可以是\(( - 1, - 1, - 1)\)，故選 D。
已知數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n + 1}=2a_n\)，\(a_1 = 1\)，則\(a_5\)的值為（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】A
【分析】由\(a_{n + 1}=2a_n\)，\(a_1 = 1\)可知數列\(\{a_n\}\)是以\(1\)為首項，\(2\)為公比的等比數列，根據等比數列通項公式\(a_n=a_1q^{n - 1}\)（\(q\)為公比），則\(a_5 = 1\times2^{5 - 1}=16\)，故選 A。
已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt0)\)的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)，則該橢圓的方程為（ ）
A. \(\frac{x^2}{4}+y^2 = 1\) B. \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\) C. \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\) D. \(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)
【答案】A
【分析】因為離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)（\(c\)為半焦距），即\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，又\(a^2 = b^2 + c^2\)，所以\(b^2 = a^2 - c^2 = a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2\)，橢圓方程可化為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1\)。把點\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)代入得\(\frac{(\sqrt{3})^2}{a^2}+\frac{4\times(\frac{1}{2})^2}{a^2}=1\)，即\(\frac{3}{a^2}+\frac{1}{a^2}=1\)，解得\(a^2 = 4\)，則\(b^2 = 1\)，所以橢圓方程為\(\frac{x^2}{4}+y^2 = 1\)，故選 A。
已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一條漸近線方程為\(y = 2x\)，則該雙曲線的離心率為（ ）
A. \(\sqrt{5}\) B. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) C. \(\sqrt{3}\) D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
【答案】A
【分析】雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，已知一條漸近線方程為\(y = 2x\)，則\(\frac{b}{a}=2\)，即\(b = 2a\)。離心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^2 = a^2 + b^2\)，把\(b = 2a\)代入得\(c^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2\)，即\(c=\sqrt{5}a\)，所以離心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}\)，故選 A。
已知拋物線\(y^2 = 2px(p\gt0)\)的焦點為\(F\)，點\(M\)在拋物線上，且\(|MF| = 5\)，若點\(M\)到\(y\)軸的距離為\(4\)，則\(p\)的值為（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
【分析】拋物線\(y^2 = 2px(p\gt0)\)的準線方程為\(x = -\frac{p}{2}\)，由拋物線定義知，拋物線上點到焦點的距離等于到準線的距離。已知點\(M\)到\(y\)軸距離為\(4\)，則點\(M\)橫坐標為\(4\)，又\(|MF| = 5\)，所以\(4+\frac{p}{2}=5\)，解得\(p = 2\)，故選 A。
已知正方體\(ABCD - A_1B_1C_1D_1\)的棱長為\(2\)，點\(E\)是棱\(CC_1\)的中點，點\(P\)在正方形\(BCC_1B_1\)內（含邊界）運動，且\(AP\parallel\)平面\(A_1DE\)，則動點\(P\)的軌跡長度為（ ）
A. \(\sqrt{2}\) B. \(2\) C. \(2\sqrt{2}\) D. \(4\)
【答案】C
【分析】取\(BB_1\)中點\(F\)，\(BC\)中點\(G\)，連接\(AF\)，\(FG\)，\(AG\)。易證平面\(AFG\parallel\)平面\(A_1DE\)，因為\(AP\parallel\)平面\(A_1DE\)，所以點\(P\)的軌跡為線段\(FG\)。在正方形\(BCC_1B_1\)中，\(FG=\sqrt{(2\div2)^2+(2\div2)^2}=2\sqrt{2}\)，故選 C。
二、多項選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的`得 5 分，有選錯的得 0 分，部分選對的得 2 分。
已知函數\(f(x)=x^3 - 3x\)，則下列說法正確的是（ ）
A. \(f(x)\)在\(x = - 1\)處取得極大值
B. \(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上單調遞增
C. \(f(x)\)的圖象關于原點對稱
D. 方程\(f(x)=1\)有三個不同的實數根
【答案】ABC
【分析】對\(f(x)=x^3 - 3x\)求導得\(f^\prime(x)=3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=\pm1\)。當\(x\lt - 1\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調遞增；當\(-1\lt x\lt1\)時，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)單調遞減；當\(x\gt1\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調遞增，所以\(f(x)\)在\(x = - 1\)處取得極大值，A 正確，B 正確。因為\(f(-x)=(-x)^3 - 3(-x)=-(x^3 - 3x)=-f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函數，圖象關于原點對稱，C 正確。\(f(-2)= - 8 + 6 = - 2\)，\(f(-1)= - 1 + 3 = 2\)，\(f(1)=1 - 3 = - 2\)，\(f(2)=8 - 6 = 2\)，作出\(y = f(x)\)圖象與\(y = 1\)圖象，可知方程\(f(x)=1\)有兩個不同實數根，D 錯誤。故選 ABC。
已知圓\(C\)：\((x - 1)^2+(y - 2)^2 = 25\)，直線\(l\)：\((2m + 1)x+(m + 1)y - 7m - 4 = 0(m\in R)\)，則下列說法正確的是（ ）
A. 直線\(l\)恒過定點\((3,1)\)
B. 直線\(l\)與圓\(C\)恒相交
C. 直線\(l\)被圓\(C\)截得的弦長最短時，直線\(l\)的方程為\(2x - y - 5 = 0\)
D. 直線\(l\)被圓\(C\)截得的弦長最短時，弦長為\(4\sqrt{5}\)
【答案】ABCD
【分析】將直線\(l\)方程\((2m + 1)x+(m + 1)y - 7m - 4 = 0\)變形為\(m(2x + y - 7)+(x + y - 4)=0\)，令\(\begin{cases}2x + y - 7 = 0\\x + y - 4 = 0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}\)，所以直線\(l\)恒過定點\((3,1)\)，A 正確。點\((3,1)\)到圓心\((1,2)\)的距離\(d=\sqrt{(3 - 1)^2+(1 - 2)^2}=\sqrt{5}\lt5\)（圓半徑），所以點\((3,1)\)在圓內，直線\(l\)與圓\(C\)恒相交，B 正確。當直線\(l\)與定點\((3,1)\)和圓心\((1,2)\)連線垂直時，弦長最短。定點\((3,1)\)與圓心\((1,2)\)連線的斜率\(k=\frac{2 - 1}{1 - 3}=-\frac{1}{2}\)，則直線\(l\)的斜率為\(2\)，直線\(l\)方程為\(y - 1 = 2(x - 3)\)，即\(2x - y - 5 = 0\)，C 正確。此時弦長為\(2\sqrt{r^2 - d^2}=2\sqrt{25 - 5}=4\sqrt{5}\)，D 正確。故選 ABCD。
已知\(\overrightarrow{a}=(1, - 2,1)\)，\(\overrightarrow{b}=( - 1,1,3)\)，\(\overrightarrow{c}=(2,x,y)\)，若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{c}\)共面，則（ ）
A. \(x = - 7\) B. \(x = 7\) C. \(y = 3\) D. \(y = - 3\)
【答案】AC
【分析】因為\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{c}\)共面，則存在實數\(m\)，\(n\)使得\(\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\)，即\((2,x,y)=m(1, - 2,1)+n(-1,1,3)\)，可得\(\begin{cases}2 = m - n\\x = - 2m + n\\y = m + 3n\end{cases}\)，由\(2 = m - n\)得\(m = n + 2\)，代入\(x = - 2m + n\)得\(x = - 2(n + 2)+n=-n - 4\)，代入\(y = m + 3n\)得\(y = n + 2 + 3n = 4n + 2\)。再將\(m = n + 2\)代入\(2 = m - n\)驗證成立，由\(2 = m - n\)與\(x = - 2m + n\)聯立消去\(m\)，\(n\)得\(x = - 7\)，再代入\(y = m + 3n\)得\(y = 3\)，故選 AC。
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