數學《雙曲線的幾何性質》教案設計

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數學《雙曲線的幾何性質》教案設計

　　在教學工作者實際的教學活動中，通常需要用到教案來輔助教學，借助教案可以提高教學質量，收到預期的教學效果。那么優秀的教案是什么樣的呢？下面是小編為大家整理的數學《雙曲線的幾何性質》教案設計，歡迎閱讀與收藏。

數學《雙曲線的幾何性質》教案設計

　　數學《雙曲線的幾何性質》教案設計篇1

　　一課時目標

　　1、熟悉雙曲線的幾何性質。

　　2、能理解離心率的大小對雙曲線形狀的影響。

　　3、能運用雙曲線的幾何性質或圖形特征，確定焦點的位置，會求雙曲線的標準方程。

　　二教學過程[情景設置]

　　敘述橢圓的幾何性質，并填寫下表：方程性質

　　圖像（略）范圍—a≤x≤a，—b≤y≤b對稱性對稱軸、對稱中心頂點（±a，0）、（±b，0）離心率e=（幾何意義）

　　[探索研究]1、類比橢圓的幾何性質，探討雙曲線的幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率。雙曲線的實軸、虛軸、實半軸長、虛半軸長及離心率的定義。雙曲線與橢圓的幾何性質對比如下：方程性質

　　圖像（略）（略）范圍—a≤x≤a，—b≤y≤bx≥a，或x≤—a，y∈R對稱性對稱軸、對稱中心對稱軸、對稱中心頂點（±a，0）、（±b，0）（—a，0）、（a，0）離心率0＜e=＜1e=＞1

　　下面繼續研究離心率的幾何意義：（a、b、c、e關系：c2=a2+b2，e=＞1）

　　2、漸近線的發現與論證根據橢圓的上述四個性質，能較為準確地把畫出來嗎？（能）根據上述雙曲線的四個性質，能較為準確地把畫出來嗎？（不能）通過列表描點，能把雙曲線的頂點及附近的點，比較精確地畫出來，但雙曲線向何處伸展就不很清楚。我們能較為準確地畫出曲線y=，這是為什么？（因為當雙曲線伸向遠處時，它與x軸、y軸無限接近）此時，x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。問：雙曲線有沒有漸近線呢？若有，又該是怎樣的直線呢？引導猜想：在研究雙曲線的范圍時，由雙曲線的標準方程可解出：y=±=±當x無限增大時，就無限趨近于零，也就是說，這是雙曲線y=±與直線y=±無限接近。這使我們猜想直線y=±為雙曲線的漸近線。直線y=±恰好是過實軸端點A1、A2，虛軸端點B1、B2，作平行于坐標軸的直線x=±a，y=±b所成的矩形的兩條對角線，那么，如何證明雙曲線上的`點沿曲線向遠處運動時，與漸近線越來越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。證法1：如圖，設M（x0，y0）為第一象限內雙曲線上的仍一點，則y0=，M（x0，y0）到漸近線ay—bx=0的距離為：∣MQ∣===、點M向遠處運動，x0隨著增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點就無限接近于y=故把y=±叫做雙曲線的漸近線。

　　3、離心率的幾何意義∵e=，c＞a，∴e＞1由等式c2—a2=b2，可得===e越小（接近于1）越接近于0，雙曲線開口越小（扁狹）e越大越大，雙曲線開口越大（開闊）

　　4、鞏固練習求下列雙曲線的漸近線方程，并畫出雙曲線。①4x2—y2=4②4x2—y2=—4已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，分別求出過以下各點的雙曲線方程①M（4，）②M（4，）[知識應用與解題研究]例1求雙曲線9y2—16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。例2雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m，選擇適當的坐標系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）

　　三提煉總結

　　1、雙曲線的幾何性質及a、b、c、e的關系。

　　2、漸近線是雙曲線特有的性質，其發現證明蘊含了重要的數學思想與數學方法。

　　3、雙曲線的幾何性質與橢圓的幾何性質類似點和不同點。