三角函數測試題及答案

時間：2024-08-31 22:45:56 公開教育我要投稿

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三角函數測試題及答案

　　試題一：

三角函數測試題及答案

　　一、選擇題

　　1. 下列各三角函數式中，值為正數的是 ( )

　　A. B. C. D.

　　2. 若=，且為銳角，則的值等于 ( )

　　A. B. C. D.

　　3. 若=，，則的值為 ( )

　　A. 1 B. 2 C. D.

　　4. 已知，則 ( )

　　A. B.

　　C. D.

　　5. a=，則成立的是 ( )

　　A. ab>c C. a

　　6. 函數的定義域是( )

　　A. B.

　　C. D.

　　7. 下面三條結論：①存在實數，使成立;②存在實數，使成立;③若cosacosb=0，則其中正確結論的個數為( )

　　A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

　　8. 函數的值域是 ( )

　　A. [-2，2] B. [-1，2] C. [-1，1] D. [，2]

　　9. 函數y=-x·cosx的部分圖象是( )

　　10. 函數f(x)=cos2x+sin(+x)是( )

　　A. 非奇非偶函數

　　B. 僅有最小值的奇函數

　　C. 僅有最大值的偶函數

　　D. 既有最大值又有最小值的偶函數

　　二、填空題

　　1、函數的最小值等于并使函數y 取最小值的x的集合為

　　2、若函數的圖象關于直線對稱，則

　　函數的值域為

　　3、已知函數

　　三、解答題

　　1、已知，求的值

　　2、在DABC中，已知三邊滿足，試判定三角形的形狀。

　　試題二：

　　1、若sinα=-5/13，且α為第四象限角，tanα=?(文.6)

　　A.12/5 B.-12/5 C.5/12 D.-5/12

　　解析：主要考察基礎知識。α是第四象限角，所以cosα為正，tanα為負。

　　cos2α=1-sin2α，且cosα是正數，所以cosα=12/13，tanα=sinα/cosα=-5/12，選D。

　　2、已知函數f(x)=10√3sin(x/2)*cos(x/2)+10cos2(x/2)

　　1)求f(x)的最小正周期

　　2)將f(x)的函數圖像向右平移π/6個單位長度，再向下平移a個單位長度后得到g(x)的函數圖像，且函數g(x)的最大值為2.

　　i)求g(x)的解析式

　　ii)證明存在無窮多互不相同個正整數x0，使得g(x0)>0.

　　解析：

　　1)函數的化簡，可以看到兩個式子都跟兩倍角公式有關系，可以考慮先都變成兩倍角。

　　f(x)=10√3sin(x/2)*cos(x/2)+10cos2(x/2)=10√3*(1/2*sinx)+10*(1/2*(cosx+1))

　　=5√3sinx+5cosx+5=10*(√3/2*sinx+1/2*cosx)+5

　　=10*(cosπ/6*sinx+sinπ/6*cosx)+5=10*sin(x+π/6)+5，(根據兩角和公式)

　　所以f(x)的最小正周期為2π/ω=2π

　　i)先是函數圖像的變化問題

　　左加右減，右移是x變化，右移π/6就是把x變成x-π/6，變成

　　m(x)=10*sin(x-π/6+π/6)+5=10sinx+5.

　　上加下減，下移是函數值變化，下移a個單位就是函數值減a，變成

　　g(x)=10sinx+5-a.因為g(x)最大值為2，所以a=13.

　　g(x)=10sinx-8.

　　ii)g(x0)>0,也就是10sinx-8>0,sinx>4/5.

　　也就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數x0，使得sinx>4/5.

　　直接求這個不等式的解集比較難，因為我們不知道sin多少=4/5，但我們可以就近找，可以發現√3/2>4/5，所以我們只需要證明存在無窮多個互不相同的正整數x0，使得sinx>√3/2即可。

　　sinx>√3/2的解集為(π/3+2kπ，2/3π+2kπ)

　　先看(π/3，2π/3)，區間長度為π/3>1，也就是這個區間內至少會有一個整數，比如這個區間的整數就是1.

　　每個(π/3+2kπ，2π/3+2kπ)的區間長度都是π/3>1，因此對于任意的正整數k，在(π/3+2kπ，2π/3+2kπ)之間內都存在正整數x0使得g(x)>0，因此就是存在無窮多互不相同個正整數x0，使得g(x0)>0。

　　難點在于正整數的理解，任何一個區間，只要長度大于1，中間肯定就會有一個整數。

　　3、若銳角三角形ABC的面積是10√3，AB=5，AC=8，求BC=?(數學.理)

　　解析：提到面積，很容易想到正弦定理。

　　正弦定理：a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D還有面積S=1/2*ab*sinC

　　S=1/2*AB*AC*sinA=10√3,代入數據求得sinA=√3/2,因此是銳角三角形，所以A=π/3，即60度。知道角和兩條夾邊，根據余弦定理可以求得對邊。

　　a²=c²+b²-2bccosA，也就是BC²=AB²+AC²-2AB*AC*cosA=25+64-80*1/2=49

　　BC=7

　　4、已知函數f(x)的圖像是由g(x)=cosx經過以下變化得到：g(x)圖像上所有點的縱坐標變成原來的2倍(橫坐標不變)，再將所得的圖像向右平移π/2個單位。

　　1)求f(x)的解析式，及對稱軸方程。

　　2)已知關于x的方程f(x)+g(x)=m在[0，2π)之間存在兩個不同的解a,b。

　　i)求實數m的取值范圍

　　ii)cos(a-b)=2m²/5-1.

　　解析：

　　1)還是圖像變化老問題，g(x)圖像上所有點的縱坐標變成原來的2倍(橫坐標不變)，就是函數值變為原來的2倍，也就是變成了2cosx。

　　再將所得的圖像向右平移π/2個單位。左加右減，左右移動x變化，就是x變成x-π/2.于是有f(x)=2cos(x-π/2)，有強迫癥的還可以化簡為f(x)=2cos(x-π/2)=2cos(π/2-x)=2sinx。

　　f(x)的對稱軸就是f(x)的最大值很最小值，也就是x=π/2+kπ(k是整數)

　　2)先代入化簡：f(x)+g(x)=m，2sinx+cosx=m，√5sin(x+φ)=m

　　輔助角公式：

　　二思考：存在兩個不同的解是什么意思?如果是一元二次方程有個△可以看，三角函數在區間內有兩個不同的解，從sinx的圖像可以看到，在一個周期內，除了兩個頂點之外，任意的值都存在兩個x與之對應。

　　所以函數在[0，2π)之間存在兩個不同的解a,b，只需要滿足-√5

　　ii)cos(a-b)=2m²/5-1

　　a,b是方程2sinx+cosx=m，也就是√5sin(x+φ)=m的根。繼續從函數圖像上找找a,b的關系。可以看到a.b關于函數的某一條對稱軸對稱。

　　先求√5sin(x+φ)在[0，2π)之間的對稱軸。sinx的對稱軸為x=π/2+kπ(k是整數)，sin(x+φ)是x+φ=π/2+kπ(k是整數)。

　　如果-√5

　　如果0<=m<√5，那么a,b就關于x+φ=π/2對稱，同樣得到a+b=2*(π/2-φ)=π-2φ。

　　接下去就要看轉化了，因為a，b是√5sin(x+φ)=m的根，所以有√5sin(a+φ)=m，√5sin(b+φ)=m。

　　轉化1：題干的左邊轉化

　　cos(a-b)=cos(a+φ-(b+φ))=cos(a+φ)cos(b+φ)+sin(a+φ)sin(b+φ)

　　轉化2：我們已知條件的轉化

　　-√5

　　兩邊正弦得，sin(a+φ)=sin(3π-(b+φ))=sin(π-(b+φ))=sin(b+φ)

　　兩邊余弦得，cos(a+φ)=cos(3π-(b+φ))=cos(π-(b+φ))=-cos(b+φ)

　　0<=m<√5時，同樣可以化簡得到sin(a+φ)=sin(π-(b+φ))=sin(b+φ)

　　cos(a+φ)=-cos(b+φ)

　　綜合化簡：

　　cos(a-b)=cos(a+φ)cos(b+φ)+sin(a+φ)sin(b+φ)

　　=-cos(b+φ)cos(b+φ)+sin(b+φ)sin(b+φ)

　　=-cos²(b+φ)+sin²(b+φ)

　　√5sin(b+φ)=m,sin(b+φ)=m/√5,sin²(b+φ)=m²/5

　　cos²(b+φ)=1-sin²(b+φ)=1-m²/5

　　所以cos(a-b)=-cos²(b+φ)+sin²(b+φ)=-(1-m²/5)+m²/5=2m²/5-1

　　證畢。

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