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五年級寒假作業答案：奧數寒假作業答案
1.體育課上，30名學生面向老師站成一行，按老師口令，從左到右報數：1，2，3，…，30，然后，老師讓所報的數是2的倍數的同學向后轉，接著又讓所報的數是3的倍數的同學向后轉，最后讓所報的數是5的倍數的同學向后轉，現在面向老師的學生有多少人?
解：此題是容斥原理(包含排除、重疊問題)與奇偶分析的綜合題。低年級的孩子可以用枚舉的方法(容斥原理沒聽課，所以需要補上)：
2的倍數15個：
2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30
3的倍數10個：
3、6、9、12、15、18、21、24、27、30
5的倍數6個：
5、10、15、20、25、30
既是2又是3的倍數5個：
6、12、18、24、30
既是2又是5的倍數3個：
10、20、30
既是3又是5的倍數2個：
15、30
是2、3、5的'倍數1個：
30
想要最后面向老師，那么符合這樣條件的學生，要么轉動了0次，要么轉動了2次。
結合上面的分析，應該很好理解了。
最后的結果為：
30 -(15 + 10 +6-5-3 - 2+1)+(5+3+2 - 3×1)=15人
而使用容斥原理可直接用上述式子得出。
2.對于任意一個自然數n，當n為奇數時，加上121;當n為偶數時，除以2。這算一次操作。現在對231連續進行這種操作，在操作過程中是否可能出現100?為什么?
解：231是11的倍數，操作只有兩個，一個是加121，而121也是11的倍數，另一個操作是除以2(一個是11倍數的偶數的一半，仍然是11的倍數)，這兩個操作都無法改變得數仍然是11倍數的這一性質，即在運算過程中出現的數一定都是11的倍數，因為100不是11的倍數，所以在題目中定義的運算里是不可能出現100的。
如果將以上題目的231改變為任意一個11的倍數，包括0(要先加121，即121)和11本身，那么得數中肯定不會有100，這個結論是可靠的。但如果將231改變為任意一個不是11的倍數的數，比如1、2、3、343甚至更大，只要不是11的倍數，就會出現100，比如1，會在第105步得到100;2會在第106步得到100;而34只用了16步：
第1 步：34 ÷2 = 17 第2 步：17 + 121 = 138第3 步：138 ÷2 = 69第4 步：69 + 121 = 190
第5 步：190 ÷2 = 95第6 步：95 + 121 = 216第7 步：216 ÷2 = 108第8 步：108 ÷2 = 54
第9 步：54 ÷2 = 27第10 步：27 + 121 = 148第11 步：148 ÷2 = 74第12 步：74 ÷2 = 37
第13 步：37 + 121 = 158第14 步：158 ÷2 = 79第15 步：79 + 121 = 200第16 步：200 ÷2 = 100
那么我們能不能就說只要不是11的倍數，應用上述規則進行計算，結果中就一定會出現100呢?盡管做了可能的很多試驗，這個結論是正確的，但還必須經過數學證明才能下此結論。
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