一、選擇題:1 8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.
(1) 下列反常積分收斂的是 ( )
(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)
【解析】 ，則 .
(2) 函數 在 內( )
(A) 連續
(B) 有可去間斷點
(C) 有跳躍間斷點
(D) 有無窮間斷點
【答案】(B)
【解析】 ， ，故 有可去間斷點 .
(3) 設函數 ,若 在 處連續則:( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(A)
【解析】 時， 時， 在 處連續則： 得 得： ，答案選擇A
(4)設函數 在 內連續，其中二階導數 的圖形如圖所示，則曲線 的拐點的個數為( )
(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)
【解析】根據圖像觀察存在兩點，二階導數變號.則拐點個數為2個.
(5) 設函數 滿足 ，則 與 依次是 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(D)
【解析】此題考查二元復合函數偏導的求解.
令 ，則 ，從而 變為
.故 ，
因而 .故選(D).
(6)設 是第一象限由曲線 ， 與直線 ， 圍成的平面區域，函數 在 上連續，則 ( )
(A)
(B)
(C) (D)
【答案】(B)
【解析】根據圖可得，在極坐標系下計算該二重積分的積分區域為 所以
故選B.
(7) 設矩陣 , .若集合 ，則線性方程組 有無窮多解的充分必要條件為 ( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(D)
【解析】 ，
由 ，故 或 ，同時 或 .故選(D)
(8) 設二次型 在正交變換 下的標準形為 ，其中 ，若 則 在正交變換 下的標準形為( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(A)
【解析】由 ，故 .
且 .
由已知可得 故 所以 .選(A)
二、填空題：9 14小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.
(9) 則
【答案】48
【解析】 .
(10)函數 在 處的 階導數 _________
【答案】 【解析】根據萊布尼茨公式得：
(11) 設 連續， ，若 ，則
【答案】 【解析】 已知 ，求導得 ，故有 則 .
(12)設函數 是微分方程 的解，且在 處 取得極值3，則 = .
【答案】 【解析】由題意知： ， ，由特征方程： 解得 所以微分方程的通解為： 代入 ， 解得： 解得： (13)若函數 由方程 確定，則 = .
【答案】 【解析】當 時 ，則對該式兩邊求偏導可得 .將(0,0,0)點值代入即有
則可得 (14) 若 階矩陣 的特征值為 ， ，其中 為 階單位陣，則行列式 .
【答案】21
【解析】 的所有特征值為 的所有特征值為 所以 .
三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(15) (本題滿分10分)
設函數 ， .若 與 在 時是等價無窮小，求 的值.
【答案】 【解析】
方法一：
因為 ， ，
那么，
，
可得： ，所以， .
方法二：
由題意得
由分母 ，得分子 ，求得c;
于是 由分母 ，得分子
，
求得 ;
進一步，b值代入原式
，求得 (16) (本題滿分10分)
設A>0，D是由曲線段 及直線 ， 所圍成的平面區域， ， 分別表示D繞 軸與繞 軸旋轉成旋轉體的體積，若 ，求A的值.
【答案】 【解析】由旋轉體的體積公式，得
由題 求得 (17) (本題滿分11分)
已知函數 滿足 ， ， ，求 的極值.
【答案】極小值 【解析】 兩邊對y積分，得
，
故 ，
求得 ，
故 ，兩邊關于x積分，得
由 ，求得 所以 .
令 ，求得 .
又 ，
， ，
當 時， ，
為極小值.
(18) (本題滿分10分)
計算二重積分 ，其中 【答案】 【解析】 (19)(本題滿分 11 分)
已知函數 ，求 零點的個數?
【答案】 個
【解析】 令 ,得駐點為 ,
在 , 單調遞減,在 , 單調遞增
故 為唯一的極小值,也是最小值.
而 在 , ,故 從而有 考慮 ，所以 .
所以函數 在 及 上各有一個零點，所以零點個數為2.
(20) (本題滿分10分)
已知高溫物體置于低溫介質中，任一時刻該物體溫度對時間的變化率與該時刻物體和介質的溫差成正比，現將一初始溫度為 的物體在 的恒溫介質中冷卻，30min后該物體降至 ，若要將該物體的溫度繼續降至 ，還需冷卻多長時間?
【答案】 【解析】設 時刻物體溫度為 ，比例常數為 ，介質溫度為 ,則
，從而 ，
，所以 ，即 又 所以 ，所以 當 時， 1，所以還需要冷卻30min.
(21) (本題滿分10分)
已知函數 在區間 上具有2階導數， ， ， ，設 ，曲線 在點 處的切線與 軸的交點是 ，證明 .
【證明】根據題意得點 處的切線方程為 令 ，得 因為 所以 單調遞增，又因為 所以 ，又因為 所以 又因為 ，而在區間(a,b)上應用拉格朗日中值定理有
所以 因為 所以 單調遞增
所以 所以 ，即 ，所以 ，結論得證.
(22) (本題滿分 11 分)