湖南師大附中高二數學試題答案

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　　必考Ⅱ部分(50分)

湖南師大附中高二數學試題答案

　　一、填空題

　　1．10【解析】設P(xP，yP)，∵|PM|＝|PF|＝yP＋1＝5，yP＝4，

　　則|xP|＝4，S△MPF＝2(1)|MP||xP|＝10.

　　二、選擇題

　　2．B【解析】由選擇支分析可考查函數y＝x(f（x）)的單調性，而f(x)0且f(x)0，則當x0時x(f（x）)＝x2(xf（x）－f（x）)0，

　　即函數x(f（x）)在(－，0)上單調遞減，故選B.

　　三、解答題

　　3．【解析】(1)f(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)(2分)

　　列表如下：

x	(－，－1)	－1	(－1，1)	1	(1，＋)
f(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

　　所以：f(x)的遞減區間有：(－，－1)，(1，＋)，遞增區間是(－1，1)；

　　f極小值(x)＝f(－1)＝－2，f極大值(x)＝f(1)＝2.(7分)w w w .x k b 1.c o m

　　(2)由(1)知，當0

　　此時fmax(x)＝f(a)＝－a3＋3a；(9分)

　　當a1時，f(x)在(0，1)上遞增，在(1，a)上遞減，

　　即當x[0，a]時fmax(x)＝f(1)＝2(12分)

　　綜上有h(a)＝2，a（1，＋）.(－a3＋3a，a（0，1]，)(13分)

　　4．【解析】 (1)設函數(x)＝xln x－x＋1，則(x)＝ln x(1分)

　　則(x)在(0，1)上遞減，在(1，＋)上遞增，(3分)

　　(x)有極小值(1)，也是函數(x)的最小值，則(1)＝1ln 1－1＋1＝0

　　故xln xx－1.(5分)

　　(2)f(x)＝ex－a(6分)

　　①a0時，f(x)0，f(x)是單調遞增函數，又f(0)＝0，

　　所以此時函數有且僅有一個零點x＝0；(7分)

　　②當a0時，函數f(x)在(－，ln a)上遞減，在(ln a，＋)上遞增，

　　函數f(x)有極小值f(ln a)＝a－aln a－1(8分)

　　ⅰ.當a＝1時，函數的極小值f(ln a)＝f(0)＝a－aln a－1＝0

　　則函數f(x)僅有一個零點x＝0；(10分)

　　ⅱ.當01或A1時，由(1)知極小值f(ln a)＝a－aln a－10，又f(0)＝0

　　當01時，LN p a0，易知x－時，ex0，－ax－1＋，

　　故此時f(x)＋，則f(x)還必恰有一個小于ln a的負根；

　　當a1時，2ln a0，計算f(2ln a)＝a2－2aln a－1

　　考查函數g(x)＝x2－2xln x－1(x1) ，則g(x)＝2(x－1－ln x)，

　　再設h(x)＝x－1－ln x(x1)，h(x)＝1－x(1)＝x(x－1)0

　　故h(x)在(1，＋)遞增，則h(x)h(1)＝1－1－ln 1＝0，

　　所以g(x)0，即g(x)在(1，＋)上遞增，則g(x)g(1)＝12－21ln 1－1＝0

　　即f(2ln a)＝a2－2aln a－10，

　　則f(x)還必恰有一個屬于(ln a，2 ln a)的正根．

　　故01或A1時函數f(x)都是恰有兩個零點．

　　綜上：當a(－，0]{1}時，函數f(x)恰有一個零點x＝0，

　　當a(0，1)(1，＋)時函數f(x)恰有兩個不同零點. (13分)

　　5．【解析】(1)當MNx軸時，MN的方程是x＝3(8)，

　　設M，y1(8)，N，－y1(8)w w w .x k b 1.c o m

　　由(OM)(ON)知|y1|＝3(8)，

　　即點3(8)在橢圓上，代入橢圓方程得b＝2.(3分)

　　(2)當lx軸時，由(1)知(OA)(OB)；

　　當l不與x軸垂直時，設l的方程是：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0

　　則1＋k2(|m|)＝3(8)?3m2＝8(1＋k2)(5分)

　　＝1(y2)?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0,

　　＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝3(32)(4k2＋1)0，

　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)

　　則1＋2k2(2m2－8)，(7分)

　　x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2

　　1＋2k2(（1＋k2）（2m2－8）)－1＋2k2(4k2m2)＋m2xkb1.com

　　＝1＋2k2(3m2－8（1＋k2）)＝0，即(OA)(OB).

　　即橢圓的內含圓x2＋y2＝3(8)的任意切線l交橢圓于點A、B時總有(OA)(OB).(9分)

　　(2)當lx軸時，易知|AB|＝23(8)＝3(6)(10分)

　　當l不與x軸垂直時，|AB|＝＝（1＋2k2）2(（4k2＋1）)

　　＝3(6)（1＋2k2）2(（1＋k2）（4k2＋1）)(12分)

　　設t＝1＋2k2[1，＋)，t(1)(0，1]

　　則|AB|＝3(6)2t2(2t2＋t－1)＝3(6)8(9)

　　所以當t(1)＝2(1)即k＝2(2)時|AB|取最大值2，

　　當t(1)＝1即k＝0時|AB|取最小值3(6)，

　　(或用導數求函數f(t)＝2t2(2t2＋t－1)，t[1，＋)的最大值與最小值)

　　綜上|AB|3(6).(14分)

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