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九年級數學下冊第二章二次函數檢測試題
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.(2015•甘孜州)二次函數y=x2+4x-5的圖象的對稱軸為( )
A.x=4, B.x=-4, C.x=2, D.x=-2
2. (2015•荊州)將拋物線y=x2-2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為( )
A.y=(x-1)2+4 B.y=(x-4)2+4 C.y=(x+2)2+6 D.y=(x-4)2+6
3. (2015•樂山)二次函數y=-x2+2x+4的最大值為( )
A.3, B.4, C.5, D.6
4. (2015•錦州)在同一坐標系中，一次函數y=ax+2與二次函數y=x2+a的圖象可能是( )
A. , B. , C. , D.
5.(2014秋•x疆期中)已知拋物線y=x2-8x+c的頂點在x軸上，則c等于( )
A.4, B.8, C.-4, D.16
6.對于函數 ，使得 隨 的增大而增大的 的取值范圍是( )
A.x>-1 B.x>0 C.x<0 D.x<-1
7.(2015•蘭州中考)二次函數y=a +bx+c的圖象如圖所示，點C在y軸的正半軸上，且OA=OC，則( )
A.ac+1=b B.ab+1=c C.bc+1=a D.以上都不是
8.(2015•陜西中考)下列關于二次函數y=a -2ax+1(a>1)的圖象與x軸交點的判斷，正確的是( ) 第7題圖
A.沒有交點
B.只有一個交點，且它位于y軸右側
C.有兩個交點，且它們均位于y軸左側
D.有兩個交點，且它們均位于y軸右側
9. (2015•浙江金華中考)圖②是圖①中拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點為O，B，以點O為原點，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標系，橋的拱形可近似看成拋物線y= - +16，橋拱與橋墩AC的交點C恰好在水面，有AC⊥x軸.若OA=10米，則橋面離水面的高度AC為( )
① ②
第9題圖
A.16 米 B. 米 C.16 米 D. 米
10.(重慶中考)已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對
稱軸為直線x= .下列結論中，正確的是( )
A.abc>0 B.a+b=0
C.2b+c>0 D.4a+c<2b
二、填空題(每小題3分，共24分)
11.(蘇州中考)已知點A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函數y=(x 1)2+1的圖象上，若x1>x2>1，則y1 y2(填“>”“=”或“<”).
12.(2014•安徽中考)某廠今年一月份新產品的研發資金為a元，以后每月新產品的研發資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年三月份新產品的研發資金y(元)關于x的函數表達式為y= .
13(2015•黑龍江綏化中考)把二次函數y= 的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的表達式是________.
14.(2014•杭州中考)設拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過A(0，2)，B(4，3)，C三點，其中點C在直線x=2上，且點C到拋物線對稱軸的距離等于1，則拋物線的函數表達式為 .
15.(湖北襄陽中考)某一型號飛機著陸后滑行的距離y(單位：m)與滑行時間x(單位：s)之間的函數表達式是y=60x 1.5x2，該型號飛機著陸后需滑行 m才能停下來.
16.設 三點依次分別是拋物線 與 軸的交點以及與 軸的兩個交點，則△ 的面積是 .
17.(河南中考)已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點.若點A的坐標為(-2，0)，拋物線的對稱軸為直線x=2，則線段AB的長為 .
18.有一個二次函數的圖象，三位同學分別說出了它的一些特點：
甲：對稱軸為直線 ;
乙：與 軸兩個交點的橫坐標都是整數;
丙：與 軸交點的縱坐標也是整數.
請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數表達式__________________.
三、解答題(共66分)
19.(7分)把拋物線 向左平移2個單位長度，同時向下平移1個單位長度后，恰好與拋物線 重合.請求出 的值，并畫出函數的示意圖.
20.(7分)炮彈的運行軌道若不計空氣阻力是一條拋物線.現測得我軍大炮A與射擊目標B的水平距離為600 m，炮彈運行的最大高度為1 200 m.
(1)求此拋物線的表達式.
(2)若在A、B之間距離A點500 m處有一高350 m的障礙物，計算炮彈能否越過障礙物.
21.(8分)某商店進行促銷活動，如果將進價為8元/件的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品的單價每漲1元，其銷售量就要減少10件，問將售價定為多少元/件時，才能使每天所賺的利潤最大?并求出最大利潤.
22.(8分)已知二次函數y=(t+1)x2+2(t+2)x+ 在x=0和x=2時的函數值相等.
(1)求二次函數的表達式;
(2)若一次函數y=kx+6(k≠0)的圖象與二次函數的圖象都經過點A( 3,m)，求m和k的值.
23.(8分)(哈爾濱中考)小磊要制作一個三角形的鋼架模型，在這個三角形中，長度為x(單位：cm)的邊與這條邊上的高之和為40 cm，這個三角形的面積S(單位：cm2)隨x(單位：cm)的變化而變化.
(1)請直接寫出S與x之間的函數表達式(不要求寫出自變量x的取值范圍).
(2)當x是多少時，這個三角形面積S最大?最大面積是多少?(參考公式：當x= 時，二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)有最小(大)值
24.(8分)如圖所示，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE、ED、DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點C到ED的距離是11米，以ED所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐 標系.
(1)求拋物線的表達式;
(2)已知從某時刻開始的40小時內，水面與河底ED的距離h(單位：米)隨時間t(單位：時)的變化滿足函數關系h= 9)2+8(0≤t≤40)，且當水面到頂點C的距離不大于5米時，需禁止船只通行，請通過計算說明在這一時段內，需多少小時禁止船只通行?
25.(10分)在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長)，用28 m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB，BC兩邊)，設AB=x m.
(1)若花園的面積為192 m2，求x的值;
(2)若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15 m和6 m，要將這棵樹圍在花園內(含邊界，不考慮樹的粗細)，求花園面積S的最大值.
26.(10分)已知二次函數y=x2-2mx+m2+3(m是常數).
(1)求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點.
(2)把該函數的圖象沿y軸向下平移多少個單位長度后，得到的函數的圖象與x軸只有一個公共點?
第二章 二次函數檢測題參考答案
一、選擇題
1. D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.D 7. A 8.D 9. B 10. D
二、填空題
11.> 解析:∵ a=1>0，對稱軸為直線x=1，∴ 當x>1時，y隨x的增大而增大.故由x1>x2>1可得y1>y2.
12. a(1+x)2 解析：二月份新產品的研發資金為a(1+x)元，因為每月新產品的研發資金的增長率都相等，所以三月份新產品的研發資金為a(1+x)(1+x)元，即a(1+x)2元.
13. 或 (答出這兩種形式中任意一種均得分)
解析：根據拋物線的平移規律“左加右減，上加下減”可得，平移后的拋物線的表達式為 .
14.y= x2- x+2或y=- x2+ x+2 解析：由題意知拋物線的對稱軸為直線x=1或x=3.
(1)當對稱軸為直線x=1時，b=-2a，拋物線經過A(0，2)，B(4，3)，
∴ 解得 ∴ y= x2- x+2.
(2)當對稱軸為直線x=3時，b=-6a，拋物線經過A(0，2)， B(4，3)，
∴ 解得 ∴ y=- x2+ x+2.
∴ 拋物線的函數表達式為y= x2- x+2或y=- x2+ x+2.
15. 600 解析:y=60x 1.5x2= 1.5(x 20)2+600,當x=20時,y最大值=600，則該型號飛機著陸時需滑行600 m才能停下來.
16. 解析:令 ，令 ，得 ，
所以 ，
所以△ 的面積是 .
17. 8 解析：因為點A到對稱軸的距離為4，且拋物線為軸對稱圖形，所以AB=2×4=8.
18. 解析：本題答案不唯一，只要符合題意即可，如
三、解答題
19.解:將 整理，得 .
因為拋物線 向左平移2個單位長度，
再向下平移1個單位長度，得 ，
所以將 向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，即得 ，故 ，
所以 .示意圖如圖所示.
20.解:(1)建立平面直角坐標系，設點A為原點，
則拋物線過點(0，0)，(600，0)，
從而拋物線的對稱軸為直線 .
又拋物線的最高點的縱坐標為1 200，
則其頂點坐標為(300，1 200)，
所以設拋物線的表達式為 ，
將(0，0)代入所設表達式，得 ，
所以拋物線的表達式為 .
(2)將 代入表達式，得 ，
所以炮彈能越過障礙物.
21.分析：日利潤=銷售量×每件利潤，每件利潤為 元，銷售量為[ 件，據此得表達式.
解：設售價定為 元/件.
由題意得， ，
∵ ，∴ 當 時， 有最大值360.
答：將售價定為14元/件時，才能使每天所賺的利潤最大，最大利潤是360元.
22.分析：(1)根據拋物線的對稱軸為直線x= =1,列方程求t的值，確定二次函數表達式.
(2)把x= 3,y=m代入二次函數表達式中求出m的值，再代入y=kx+6中求出k的值.
解：(1)由題意可知二次函數圖象的對稱軸為直線x=1，
則 =1，∴ t= .∴ y= x2+x+ .
(2)∵ 二次函數圖象必經過A點，
∴ m= ×( )2+( 3)+ = 6.
又一次函數y=kx+6的圖象經過A點，∴ 3k+6= 6,∴ k=4.
23.分析：(1)由三角形面積公式S= 得S與x之間的表達式為S= •x(40 x)= x2+20x.
(2)利用二次函數的性質求三角形面積的最大值.
解：(1)S= x2+20x.
(2)方法1：∵ a= <0,∴ S有最大值.
∴ 當x= = =20時，S有最大值為 = =200.
∴ 當x為20 cm時,三角形面積最大，最大面積是200 cm2.
方法2：∵ a= <0,∴ S有最大值.
∴ 當x= = =20時，S有最大值為S= ×202+20×20=200.
∴ 當x為20 cm時，三角形面積最大，最大面積是200 cm2..
點撥：最值問題往往轉化為求二次函數的最值.
24.分析：(1)設拋物線的表達式為y=ax2+b(a≠0),將(0,11)和(8，8)代入即可求出a,b;
(2)令h=6,解方程 (t 19)2+8=6得t1,t2，所以當h≥6時，禁止船只通行的時間為
|t2-t1|.
解：(1)依題意可得頂點C的坐標為(0，11)，設拋物線表達式為y=ax2+11.
由拋物線的對稱性可得B(8,8),
∴ 8=64a+11，解得a= ,∴ 拋物線表達式為y= x2+11.
(2)畫出h= (t-19)2+8(0≤t≤40)的圖象如圖所示.
當水面到頂點C的距離不大于5米時，
h≥6,當h=6時，解得t1=3,t2=35.
由圖象的變化趨勢得，禁止船只通行的時間為|t2-t1|=32(小時).
答：禁止船只通行的時間為32小時.
點撥：(2)中求出符合題意的h的取值范圍是解題的關鍵，本題考查了二次函數在實
際問題中的應用.
25.分析：(1)根據矩形的面積公式列出方程x(28-x)=192，解這個方程求出x的值即可.
(2)列出S與x的二次函數表達式，根據二次函數的性質求S的最大值.
解：(1)由AB=x m，得BC=(28-x)m，根據題意，得x(28-x)=192，解得x1=12，x2=16.
答：若花園的面積為192 m2，則x的值為12或16.
(2)S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196，
因為x≥6，28-x≥15，所以6≤x≤13.
因為a=-1<0，所以當6≤x≤13時，S隨x的增大而增大，
所以當x=13時，S有最大值195 m2.
點撥：求實際問題中的最大值或最小值時，一般應該列出函數表達式，根據函數的性質求解.在求最大值或最小值時，應注意自變量的取值范圍.
26.分析：(1)求出根的判別式，根據根的判別式的符號，即可得出答案;
(2)先化成頂點式，根據頂點坐標和平移的性質進行解答.
(1)證法1：因為(-2m)2-4(m2+3)=-12<0，
所以方程x2-2mx+m2+3=0沒有實數根，
所以不論m為何值，函數y=x2-2mx+m2+3的圖象與x軸沒有公共點.
證法2：因為a=1>0，所以該函數的圖象開口向上.
又因為y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3，
所以該函數的圖象在x軸的上方.
所以不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點.
(2)解：y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3，
把函數y=(x-m)2+3的圖象沿y軸向下平移3個單位長度后，得到函數y=(x-m)2的圖象，它的頂點坐標是(m，0)，
因此，這個函數的圖象與x軸只有一個公共點.
所以把函數y=x2-2mx+m2+3的圖象沿y軸向下平移3個單位長度后，得到的函數的圖象與x軸只有一個公共點.
點撥：二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)與x軸的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0的根之間的關系.Δ=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數，當Δ=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;當Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;當Δ=b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.
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