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七年級數學下第4章因式分解單元試題
一、選擇題(本題有10小題，每小題3分，共30分)
下面每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.
1﹒下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是( )
A﹒2x2+8x-1=2x(x+4)-1 B﹒(x+5)(x-2)=x2+3x-10
C﹒x2-8x+16=(x-4)2 D﹒6ab=2a•3b
2﹒將下列多項式因式分解，結果中不含有因式a+1的是( )
A﹒a2-1 B﹒a2+a-2 C﹒a2+a D﹒(a-2)2-2(a+2)+1
3﹒多項式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是( )
A﹒5mn B﹒5m2n2 C﹒5m2n D﹒5mn2
4﹒下列因式分解正確的是( )
A﹒-a2-b2=(-a+b)(-a-b) B﹒x2+9=(x+3)2
C﹒1-4x2=(1+4x)(1-4x) D﹒a3-4a2=a2(a-4)
5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是( )
A﹒a2-2ab+4b2 B﹒4m2-m+ C﹒9-6y+y2 D﹒x2-2xy-y2
6﹒已知x，y為任意有理數，記M=x2+y2，N=2xy，則M與N的大小關系為( )
A﹒M>N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能確定
7﹒把多項式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，則a+b的值是( )
A﹒-5 B﹒5 C﹒1 D﹒-1
8﹒已知x2-x-1=0，則代數式x3-2x+1的值為( )
A﹒-1 B﹒1 C﹒-2 D﹒2
9﹒如圖，邊長為a、b的長方形的周長為14，面積為10，
則多項式a3b+2a2b2+ab3的值為( )
A﹒490 B﹒245
C﹒140 D﹒1960
10.已知:a=2017x+2015，b=2017x+2016，c=2017x+2017，則代數式a2+b2+c2-ab-ac-bc的值為( )
A﹒0 B﹒1 C﹒2 D﹒3
二、填空題(本題有6小題，每小題4分，共24分)
要注意認真看清題目的條件和要填寫的內容，盡量完整地填寫答案.
11.請從4a2，(x+y)2，16，9b2四個式子中，任選兩個式子做差得到一個多項式，然后對其進行因式分解是_________________________________﹒
12.用簡便方法計算：20172-34×2017+289=_________﹒
13.若m-n=2，則多項式2m2-4mn+2n2-1的值為___________﹒
14.如果x2-2xy+2y2+4y+4=0，那么yx=___________﹒
15.把多項式a2017-4a2016+4a2015分解因式，結果是__________________﹒
16.如圖是正方形或長方形三類卡片各若干張，若要用這些卡片拼成一個面積為2a2+3ab+b2的長方形(所拼長方形中每類卡片都要有，卡片之間不能重疊)，則你所拼長方形的兩邊長分別是____________，____________(用含a、b字母的代數式表示)﹒
三、解答題(本題有7小題，共66分)
解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟.
17.(8分)分解因式：
(1)-18a3b2-45a2b3+9a2b2﹒ (2)5a3b(a-b)3-10a4b2(b-a)2﹒
18.(10分)分解因式：
(1)(x2+16y2)2-64x2y2﹒ (2)9(x-y)2-12x+12y+4﹒
19.(10分)分解因式：
(1)ac-bc-a2+2ab-b2﹒ (2)1-a2-4b2+4ab﹒
20.(8分)已知m，n為數軸上在原點兩側且到原點距離相等的兩個點所表示的數，且滿足(m+4)2-(n+4)2=16，求代數式m2+n2- 的值﹒
21.(8分)如圖所示，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，若圖中①②都是剪成邊為a的大正方形，③④都是剪成邊長為b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成邊長分別為a、b的小長方形﹒
(1)觀察圖形，可以發現多項式2a2+5ab+2b2可以因式分解為____________________;
(2)若每塊小長方形的的面積為10cm2，四個正方形的面積之和為58cm2，試求圖中所有裁剪線(虛線部分)長之和﹒
22.(10分)設y=kx，是否存在實數k，使得多項式(x-y)(2x-y)-3x(2x-y)能化簡5x2?若能，請求所有滿足條件的k的值;若不能，請說明理由﹒
23.(12分)如果一個正整數能表示兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”.如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，……因此4，12，20……都是“神秘數”﹒
(1)28，2016這兩個數是“神秘數”嗎?為什么?
(2)設兩個連續偶數為2k+2和2k(其中k取非負整數)，由這兩個連續偶數構造的“神秘數”是4的倍數嗎?為什么?
(3)兩個連續奇數的平方差是“神秘數”嗎?為什么?
浙教版七下數學第4章《因式分解》單元培優測試題
參考答案
Ⅰ﹒答案部分：
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D C B A D A D
二、填空題
11﹒答案不唯一，如：4a2-16=4(a+2)(a-2)﹒ 12﹒ 4000000﹒ 13﹒ 7﹒
14﹒ ﹒ 15﹒a2015(a-2)2﹒ 16﹒ 2a+b，a+b﹒
三、解答題
17.(1)解：-18a3b2-45a2b3+9a2b2=-9a2b2(2a+5b-1)﹒
(2)解：5a3b(a-b)3-10a4b3(b-a)2
=5a3b(a-b)3-10a4b2(a-b)2
=5a3b(a-b)2(a-b-2ab)﹒
18.(1)解：(x2+16y2)2-64x2y2
=(x2+16y2)2-(8xy)2
=(x2+16y2+8xy)( x2+16y2-8xy)
=(x+4y)2(x-4y)2﹒
(2)解：9(x-y)2-12x+12y+4
=[3(x-y)]2-12(x-y)+22
=[3(x-y)-2]2
=(3x-3y-2)2﹒
19.(1)解：ac-bc-a2+2ab-b2
=c(a-b)-(a2-2ab+b2)
=c(a-b)-(a-b)2
=(a-b)[c-(a-b)]
=(a-b)(c-a+b)﹒
(2)解：1-a2-4b2+4ab
=1-(a2-4ab+4b2)
=1-(a-2b)2
=[1+(a-2b)][1-(a-2b)]
=(1+a-2b)(1-a+2b)﹒
20.解：∵m，n為數軸上在原點兩側且到原點距離相等的兩個點所表示的數，
∴m，n互為相反數，即m+n=0 ①，
又∵(m+4)2-(n+4)2=16，
∴(m+n+8)(m-n)=16，
8(m-n)=16，
∴m-n=2 ②，
聯立①②得 ，解得 ，
∴m2+n2- =1+1+1=3﹒
21.解：(1)觀察圖形知：九塊圖形的面積之和等于這張長方形紙板的面積，
所以2a2+5ab+2b2可分解為(2a+b)(a+2b)，
故答案為：(2a+b)(a+2b)﹒
(2)由題意，知：2a2+2b2=58，ab=10，則a2+b2=29，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=29+20=49，
∵a+b>0，
∴a+b=7，
則6a+6b=6(a+b)=6×7=42，
答：圖中所有裁剪線(虛線部分)長之和為42﹒
22.解：能，假設存在實數k，
(x-y)(2x-y)-3x(2x-y)
=(2x-y)(-2x-y)
=-(2x-y)(2x+y)
=-(4x2-y2)
=-4x2+y2，
把y=kx代入，原式=-4x2+(kx)2=-4x2+k2x2=(k2-4)x2，
∵多項式(x-y)(2x-y)-3x(2x-y)能化簡5x2，
∴(k2-4)x2=5x2，
∴k2-4=5，解得k=±3，
故滿足條件的k的值有3或-3﹒
23.解：(1)是，∵28=2×14=(8-6)(8+6)=82-62，2016=2×1008=(505-503)(505+503)=5052-5032，∴28，2016這兩個數都是“神秘數”;
(2)是，∵(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=4(2k+1)，∴2k+2和2k這兩個連續偶數構造的“神秘數”是4的倍數﹒
(3)不是，設兩個連續奇數為2k+1和2k-1(k取正整數)，
則(2k+1)2-(2k-1)2=(2k+1+2k-1)(2k+1-2k+1)=4k×2=8k，
此數是8的倍數，由(2)知“神秘數”可表示為4的倍數，但不能表示為8的倍數，
所以兩個連續奇數的平方差不是“神秘數”﹒
Ⅱ﹒解答部分：
一、選擇題
1﹒下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是( )
A﹒2x2+8x-1=2x(x+4)-1 B﹒(x+5)(x-2)=x2+3x-10
C﹒x2-8x+16=(x-4)2 D﹒6ab=2a•3b
解答：A﹒右邊2x(x+4)-1不是積的形式，故A項錯誤;
B﹒(x+5)(x-2)=x2+3x-10，是多項式乘法，不是因式分解，故B項錯誤;
C﹒x2-8x+16=(x-4)2，運用了完全平方公式，符合因式分解的定義，故C正確;
D﹒6ab=2a•3b，左邊不是多項式，故D錯誤﹒
故選：C﹒
2﹒將下列多項式因式分解，結果中不含有因式a+1的是( )
A﹒a2-1 B﹒a2+a-2 C﹒a2+a D﹒(a-2)2-2(a+2)+1
解答：因為A﹒a2-1=(a+1)(a-1);B﹒a2+a-2=(a+2)(a-1); C﹒a2+a=a(a+1);
D﹒(a-2)2-2(a+2)+1=(a+2-1)2=(a+1)2，
所以結果中不含有因式a+1的選項是B﹒
故選：B﹒
3﹒多項式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是( )
A﹒5mn B﹒5m2n2 C﹒5m2n D﹒5mn2
解答：多項式15m3n2+5m2n-20m2n3中，各項系數的最大公約數是5，各項都含有相同字母m，n，字母m的指數最低是2，字母n的指數最低是1，所以多項式的公因式是5m2n﹒
故選：C﹒
4﹒下列因式分解正確的是( )
A﹒-a2-b2=(-a+b)(-a-b) B﹒x2+9=(x+3)2
C﹒1-4x2=(1+4x)(1-4x) D﹒a3-4a2=a2(a-4)
解答：A﹒-a2-b2=-(a2+b2)，不能進行因式分解，故A項錯誤;B﹒多項式x2+9不能進行因式分解，故B項錯誤;C﹒1-4x2=(1+2x)(1-2x)，故C項錯誤;D﹒a3-4a2=a2(a-4)，故D項正確﹒
故選：D﹒
5﹒下列各式中，能用完全平方公式分解的是( )
A﹒a2-2ab+4b2 B﹒4m2-m+ C﹒9-6y+y2 D﹒x2-2xy-y2
解答：A﹒a2-2ab+4b2中間乘積項不是這兩數的2倍，故A項錯誤;B﹒4m2-m+ 中間乘積項不是這兩數的2倍，故B項錯誤;C﹒9-6y+y2=(3-y)2，故C項正確;D﹒x2-2xy-y2不是兩數的平方和，不能用完全平方公式，故D項錯誤﹒
故選：C.
6﹒已知x，y為任意有理數，記M=x2+y2，N=2xy，則M與N的大小關系為( )
A﹒M>N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能確定
解答：∵M=x2+y2，N=2xy，
∴M-N=x2+y2-2xy=(x+y)2≥0，則M≥N.
故選：B.
7﹒把多項式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，則a+b的值是( )
A﹒-5 B﹒5 C﹒1 D﹒-1
解答：∵(x+1)(x-3)=x2-3x+x-3=x2-2x-3，
∴x2+ax+b=x2-2x-3，
∴a=-2，b=-3，
∴a+b=-5，
故選：A﹒
8﹒已知x2-x-1=0，則代數式x3-2x+1的值為( )
A﹒-1 B﹒1 C﹒-2 D﹒2
解答：∵x2-x-1=0，∴x2-x=1，
∴x3-2x+1=x3-x2+ x2-2x+1=x(x2-x) + x2-2x+1=x+ x2-2x+1=x2-x+1=1+1=2﹒
故選：D﹒
9﹒如圖，邊長為a、b的長方形的周長為14，面積為10，
則多項式a3b+2a2b2+ab3的值為( )
A﹒490 B﹒245
C﹒140 D﹒1960
解答：由題意，知：a+b=7，ab=10，
則a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2=10×49=490﹒
故選：A.
10.已知:a=2017x+2015，b=2017x+2016，c=2017x+2017，則代數式a2+b2+c2-ab-ac-bc的值為( )
A﹒0 B﹒1 C﹒2 D﹒3
解答：∵a=2017x+2015，b=2017x+2016，c=2017x+2017，
∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，
∴a2+b2+c2-ab-ac-bc= [( a-b)2+( b-c)2+( a-c)2]= ×(1+1+4)=3﹒
故選：D.
二、填空題
11.請從4a2，(x+y)2，16，9b2四個式子中，任選兩個式子做差得到一個多項式，然后對其進行因式分解是_________________________________﹒
解答：答案不唯一，如：4a2-16=4(a+2)(a-2)，
故答案為：4a2-16=4(a+2)(a-2)﹒
12.用簡便方法計算：20172-34×2017+289=_________﹒
解答：20172-34×2017+289
=20172-2×17×2017+172-172+289
=(2017-17)2
=20002
=4000000，
故答案為：4000000﹒
13.若m-n=2，則多項式2m2-4mn+2n2-1的值為___________﹒
解答：∵m-n=2，
∴2m2-4mn+2n2-1
=2(m2-2mn+n2)-1
=2(m-n)2-1
=2×4-1
=7﹒
故答案為：7﹒
14.如果x2-2xy+2y2+4y+4=0，那么yx=_______﹒
解答：∵x2-2xy+2y2+4y+4=x2-2xy+ y2+y2+4y+4=(x-y)2+(y+2)2=0，
∴ ，解得： ，
∴yx=(-2)-2= ，
故答案為： ﹒
15.把多項式a2017-4a2016+4a2015分解因式，結果是__________________﹒
解答：a2017-4a2016+4a2015=a2015•a2-a2015•4a+4a2015=a2015(a2-4a+4)=a2015(a-2)2，
故答案為：a2015(a-2)2﹒
16.如圖是正方形或長方形三類卡片各若干張，若要用這些卡片拼成一個面積為2a2+3ab+b2的長方形(所拼長方形中每類卡片都要有，卡片之間不能重疊)，則你所拼長方形的兩邊長分別是____________，____________(用含a、b字母的代數式表示)﹒
解答：所畫示意圖如下，
∵ 2a2+3ab+b2=a2+2ab+b2+a2+ab=(a+b)2+a(a+b)=(a+b)(a+b+a)=(a+b)(2a+b)，
∴所畫長方形的長為2a+b，寬為a+b;
故答案為：2a+b，a+b﹒
三、解答題
17.分解因式：
(1)-18a3b2-45a2b3+9a2b2 (2)5a3b(a-b)3-10a4b2(b-a)2
解答：(1)-18a3b2-45a2b3+9a2b2=-9a2b2(2a+5b-1)﹒
(2)5a3b(a-b)3-10a4b3(b-a)2
=5a3b(a-b)3-10a4b2(a-b)2
=5a3b(a-b)2(a-b-2ab)﹒
18.分解因式：
(1)(x2+16y2)2-64x2y2 (2)9(x-y)2-12x+12y+4
解答：(1)(x2+16y2)2-64x2y2
=(x2+16y2)2-(8xy)2
=(x2+16y2+8xy)( x2+16y2-8xy)
=(x+4y)2(x-4y)2﹒
(2)9(x-y)2-12x+12y+4
=[3(x-y)]2-12(x-y)+22
=[3(x-y)-2]2
=(3x-3y-2)2﹒
19.分解因式：
(1)ac-bc-a2+2ab-b2 (2)1-a2-4b2+4ab
解答：(1)ac-bc-a2+2ab-b2
=c(a-b)-(a2-2ab+b2)
=c(a-b)-(a-b)2
=(a-b)[c-(a-b)]
=(a-b)(c-a+b)﹒
(2)1-a2-4b2+4ab
=1-(a2-4ab+4b2)
=1-(a-2b)2
=[1+(a-2b)][1-(a-2b)]
=(1+a-2b)(1-a+2b)﹒
20.已知m，n為數軸上在原點兩側且到原點距離相等的兩個點所表示的數，且滿足(m+4)2-(n+4)2=16，求代數式m2+n2- 的值﹒
解答：∵m，n為數軸上在原點兩側且到原點距離相等的兩個點所表示的數，
∴m，n互為相反數，即m+n=0 ①，
又∵(m+4)2-(n+4)2=16，
∴(m+n+8)(m-n)=16，
8(m-n)=16，
∴m-n=2 ②，
聯立①②得 ，解得 ，
∴m2+n2- =1+1+1=3﹒
21.如圖所示，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，若圖中①②都是剪成邊為a的大正方形，③④都是剪成邊長為b的小正方形，⑤⑥⑦⑧⑨都是剪成邊長分別為a、b的小長方形﹒
(1)觀察圖形，可以發現多項式2a2+5ab+2b2可以因式分解為____________________;
(2)若每塊小長方形的的面積為10cm2，四個正方形的面積之和為58cm2，試求圖中所有裁剪線(虛線部分)長之和﹒
解答：(1)觀察圖形知：九塊圖形的面積之和等于這張長方形紙板的面積，
所以2a2+5ab+2b2可分解為(2a+b)(a+2b)，
故答案為：(2a+b)(a+2b)﹒
(2)由題意，知：2a2+2b2=58，ab=10，則a2+b2=29，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=29+20=49，
∵a+b>0，
∴a+b=7，
則6a+6b=6(a+b)=6×7=42，
答：圖中所有裁剪線(虛線部分)長之和為42﹒
22.設y=kx，是否存在實數k，使得多項式(x-y)(2x-y)-3x(2x-y)能化簡5x2?若能，請求所有滿足條件的k的值;若不能，請說明理由﹒
解答：能，假設存在實數k，
(x-y)(2x-y)-3x(2x-y)
=(2x-y)(-2x-y)
=-(2x-y)(2x+y)
=-(4x2-y2)
=-4x2+y2，
把y=kx代入，原式=-4x2+(kx)2=-4x2+k2x2=(k2-4)x2，
∵多項式(x-y)(2x-y)-3x(2x-y)能化簡5x2，
∴(k2-4)x2=5x2，
∴k2-4=5，解得k=±3，
故滿足條件的k的值有3或-3﹒
23.如果一個正整數能表示兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”.如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，……因此4，12，20……都是“神秘數”﹒
(1)28，2016這兩個數是“神秘數”嗎?為什么?
(2)設兩個連續偶數為2k+2和2k(其中k取非負整數)，由這兩個連續偶數構造的“神秘數”是4的倍數嗎?為什么?
(3)兩個連續奇數的平方差是“神秘數”嗎?為什么?
解答：(1)是，∵28=2×14=(8-6)(8+6)=82-62，2016=2×1008=(505-503)(505+503)=5052-5032，∴28，2016這兩個數都是“神秘數”;
(2)是，∵(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=4(2k+1)，∴2k+2和2k這兩個連續偶數構造的“神秘數”是4的倍數﹒
(3)不是，設兩個連續奇數為2k+1和2k-1(k取正整數)，
則(2k+1)2-(2k-1)2=(2k+1+2k-1)(2k+1-2k+1)=4k×2=8k，
此數是8的倍數，由(2)知“神秘數”可表示為4的倍數，但不能表示為8的倍數，
所以兩個連續奇數的平方差不是“神秘數”﹒
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