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2017年高二下學期數學(理)期中試題
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一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、命題“ ”的否定是( )
A、 B、
C、 D、
2、若兩個不同平面 、 的法向量分別為 ，則( )
A、 、 相交但不垂直 B、 ⊥
C、 ∥ D、以上均不正確
3、雙曲線 的右焦點坐標為 ，則該雙曲線的漸近線方程為( )
A、 B、 C、 D、
4、已知向量 分別是直線 和平面 的方向向量和法向量，若 與 夾角的余弦等于 ，則 與 所成的角為( )
A、 B、 C、 D、
5、下列命題中正確的是( )
A、“ ”是“ ”的必要不充分條件
B、“P且Q”為假，則P假且 Q假
C、命題“ 恒成立”是真命題，則實數 的取值范圍是
D、命題“若 ，則 ”的否命題為“若 ，則 ”
6、已知橢圓 以及橢圓內一點 ，則以P為中點的弦所在直線斜率為( )
A、 B、 C、 D、
7、已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC，M、N分別是OA、CB的中點，點G在線段MN上，且使MG=3GN，用向量 表示向量 ，則( )
A、 B、
C、 D、
8、過橢圓的右焦點 作橢圓長軸的垂線交橢圓于 兩點， 為橢圓的左焦點，
若 為正三角形，則橢圓的離心率為( )
A、 B、 C、 D、
9、 分別是雙曲線 的左、右焦點，過 的直線 與雙曲線的左右
兩支分別交于A,B兩點，若 是等邊三角形， 則該雙曲線的虛軸長為( )
A、 B、 C、 D、
10、在三棱柱 中，底面為正三角形，側棱垂直底面， 。若 分別是棱 上的點，且 ，則異面直線 與 所成角的余弦值為( )
A、 B、
C、 D、
11、已知拋物線 的焦點是F，過點F的直線與拋物線C相交于P、Q兩點，且點Q在第一象限，若 ，則直線PQ的斜率是( )
A、 B、1 C、 D、
12、已知橢圓 的左、右焦點分別為 ，直線 過點 且垂直于橢圓的長軸，動直線 垂直于直線 于點 ，線段 的垂直平分線與 的交點的軌跡為曲線 ，若點 是 上任意的一點，定點 ， ，則 的最小值為( )
A、 6 B、 C、 4 D、 5
第Ⅱ卷
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題紙上)
13、拋物線 的焦點坐標為 。
14、已知集合 ， ，若 是 的必要不充分條件，則實數 的取值范圍是 。
15、在平行六面體 中， ， ， ，
60°，則 的長為 。
16、已知直線 與拋物線 交于 兩點， 為坐標原點，且 , 于點 ，點 的坐標為 ，則 。
三、解答題(本大 題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程)
17、(本小題滿分10分)
命題 ：方程 表示焦點在 軸上的雙曲線。
命題 ：直線 與拋物線 有公共點。
若“ ”為真，求實數 的取值范圍。
18、(本小題滿分12分)已知中心在原點，焦點在 軸上的橢圓的一個頂點坐標為 ，其離心率為
求橢圓的標準方程;
橢圓上一點P滿足 ,其中 為橢圓的左右焦點，
求 的面積。
19、(本小題滿分12分)如圖，在棱長為2的正方體 中 ， 分別是棱 上的動點。
(1)當 時，求證 ⊥ ;
(2)若 分別為 的中點，求直線 與
平面 所成角的正弦值。
20、(本小題滿分12分)在圓 上任取一點 ，過點 作 軸的垂線段 ， 為垂足，當 為圓與 軸交點時， 與 重合，動點 滿足 ;
(1)求點 的軌跡 的方程;
(2)拋物線 的頂點在坐標原點，并以曲線 在 軸正半軸上的頂點為焦點，直線 與拋物線 交于 、 兩點，求線段 的長。
21、(本小題滿分12分)在四棱錐 中， 底面 ，底面 是直角梯形， ， ∥ ， ， 是 的中點。
(1)求證：平面 平面 ;
(2)若 ，求二面角 的余弦值。
22、(本小題滿分12分)動點P 滿足
(1)求動點P的軌跡 的方程;
(2)設直線 與曲線 交于 兩點，坐標原點 到直線 的距離為 ，求 面 積的最大值。
數學參考答案
一、選擇題 1-6 CBABCB 7-12 DBABDD
二、填.1空題 13、 14、 15、 16、
三、解答題
17、解： 真，則， ，得 ………………………2分
真，則方程組 有解，消去 得 ，即
得 ………………………………4分
“ ”為真，則 真或 真，所以 ………………………………6分
或 ………………………………8分
即 ………………………………10分
18、(1)設橢圓的標準方程為 ，
橢圓的一個頂點為(0,1)則 =1， ……………2分
解得 ……………4分
橢圓的標準方程為 …………………6分
(2)設
= ……………8分
得 ， ………………10分
………………12分
19、(1)證明：以 為 軸， 為 軸， 為 軸建立空間直角坐標系，如圖所示 設 ∵ ∴ …………2分
又
∴ …………………………3分
∵ …………………………4分
∴ ∴ …………………………5分
(2) ，
…………………………6分
設平面 的法向量為 ，則
取 ，則 ， ， …………………………8分
又 …………………………9分
設 與平面 所成的角為 ，則
………………………11分
即直線 與平面 所成角的正弦值為 ………………………12分
20、解(1)設 ，由 軸于點 ，可設 …………1分
由 得
即 ……………………………………3分
動點 在圓 上
……………………………………4分
，即 ……………………………………5分
動點 的軌跡 的方程為 ………………………………6分
(2)曲線 在 軸正半軸上的 頂點 為 ，由已 知可設拋物線方程為
焦點坐標為 ， 即
拋物線 的方程為 ………………………………………8分
直線 與拋物線 交于 兩點，
方程聯立： …………9分
直線 經過拋物線焦點
……………………12分
21、解：(1) …………1分
作 與點 ，則
………………2分
…………………3分
平面 …………4分
且 平面 ， 平面
平面 …………………………5分
平面 平面 平面 ………………6分
(2)由(1)可以 為 軸， 為 軸， 為 軸，建立空間直角坐標系，如圖
是 中點
設平面 的法向量為 則
取 ，則 …………8分
由(1)知平面 的法向量為 …………………………9分
………………………………11分
二面角 的余弦值為 ………………………………12分
另 解：可證 為二面角 的平面角，求出 便可
22、解：(1)由已知得，點P到點 與 的距離之和等于
且 ，所以動點P的軌跡是以 為焦點的橢圓 ……………2分
設橢圓的標準方程為
則
即
動點P的軌跡C的方程為 …………………4分
(2)設直線 的方程為 ，原點 到直線 的距離為 ，即
化簡得 ，即 …………………………5分
將直線 與橢圓C方程聯立得
化簡得
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