2016高一數學期末試題及答案

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2016高一數學期末試題及答案

　　(滿分160分，考試時間120分鐘)

　　注意事項：

　　1. 答卷前，請考生務必將自己的學校、姓名、考試號等信息填寫在答卷規定的地方.

　　2.試題答案均寫在答題卷相應位置，答在其它地方無效.

　　一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上)

　　1.不等式的解集為 ▲ .

　　2.直線：的傾斜角為 ▲ .

　　3.在相距千米的兩點處測量目標，若，，則兩點之間的距離是 ▲ 千米(結果保留根號).

　　4.圓和圓的位置關系是 ▲ .

　　5.等比數列的公比為正數，已知，，則 ▲ .

　　6.已知圓上兩點關于直線對稱，則圓的半徑為

　　▲ .

　　7.已知實數滿足條件，則的最大值為 ▲ .

　　8.已知，，且，則 ▲ .

　　9.若數列滿足：， ( )，則的通項公式為 ▲ .

　　10.已知函數，，則函數的值域為

　　▲ .

　　11.已知函數，，若且，則的最小值為 ▲ .

　　12.等比數列的公比，前項的和為 .令，數列的前項和為，若對恒成立，則實數的最小值為 ▲ .

　　13. 中，角A，B，C所對的邊為 .若，則的取值范圍是

　　▲ .

　　14.實數成等差數列，過點作直線的垂線，垂足為 .又已知點，則線段長的取值范圍是 ▲ .

　　二、解答題：(本大題共6道題，計90分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

　　15.(本題滿分14分)

　　已知的三個頂點的坐標為 .

　　(1)求邊上的高所在直線的方程;

　　(2)若直線與平行，且在軸上的截距比在軸上的截距大1，求直線與兩條坐標軸

　　圍成的三角形的周長.

　　16.(本題滿分14分)

　　在中，角所對的邊分別為，且滿足 .

　　(1)求角A的大小;

　　(2)若，的面積，求的長.

　　17.(本題滿分15分)

　　數列的前項和為，滿足 .等比數列滿足： .

　　(1)求證：數列為等差數列;

　　(2)若，求 .

　　18.(本題滿分15分)

　　如圖，是長方形海域，其中海里，海里.現有一架飛機在該海域失事，兩艘海事搜救船在處同時出發，沿直線、向前聯合搜索，且 (其中、分別在邊、上)，搜索區域為平面四邊形圍成的海平面.設，搜索區域的面積為 .

　　(1)試建立與的關系式，并指出的取值范圍;

　　(2)求的最大值，并指出此時的值.

　　19.(本題滿分16分)

　　已知圓和點 .

　　(1)過點M向圓O引切線，求切線的方程;

　　(2)求以點M為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓M的方程;

　　(3)設P為(2)中圓M上任意一點，過點P向圓O引切線，切點為Q，試探究：平面內是否存在一定點R，使得為定值?若存在，請求出定點R的坐標，并指出相應的定值;若不存在，請說明理由.

　　20.(本題滿分16分)

　　(1)公差大于0的等差數列的前項和為，的前三項分別加上1，1，3后順次成為某個等比數列的連續三項， .

　　①求數列的通項公式;

　　②令，若對一切，都有，求的取值范圍;

　　(2)是否存在各項都是正整數的無窮數列，使對一切都成立，若存在，請寫出數列的一個通項公式;若不存在，請說明理由.

　　高一數學參考答案

　　1. 2. 3. 4.相交 5.1 6.3

　　7.11 8. 9. 10. 11.3 12. 13.

　　14.

　　15.解：(1) ，∴邊上的高所在直線的斜率為 …………3分

　　又∵直線過點 ∴直線的方程為：，即 …7分

　　(2)設直線的方程為：，即 …10分

　　解得： ∴直線線的方程為： ……………12分

　　∴直線過點三角形斜邊長為

　　∴直線與坐標軸圍成的直角三角形的周長為 . …………14分

　　注：設直線斜截式求解也可.

　　16.解：(1)由正弦定理可得：，

　　即 ;∵ ∴ 且不為0

　　∴ ∵ ∴ ……………7分

　　(2)∵ ∴ ……………9分

　　由余弦定理得：， ……………11分

　　又∵ ， ∴ ，解得： ………………14分

　　17.解：(1)由已知得：， ………………2分

　　且時，

　　經檢驗亦滿足 ∴ ………………5分

　　∴ 為常數

　　∴ 為等差數列，且通項公式為 ………………7分

　　(2)設等比數列的公比為，則，

　　∴ ，則， ∴ ……………9分

　　①

　　②

　　① ②得：

　　…13分

　　………………15分

　　18.解：(1)在中，，

　　在中，，

　　∴ …5分

　　其中，解得：

　　(注：觀察圖形的極端位置，計算出的范圍也可得分.)

　　∴ ， ………………8分

　　(2)∵ ，

　　……………13分

　　當且僅當時取等號，亦即時，

　　∵

　　答：當時，有最大值 . ……………15分

　　19.解：(1)若過點M的直線斜率不存在，直線方程為：，為圓O的切線; …………1分

　　當切線l的斜率存在時，設直線方程為：，即，

　　∴圓心O到切線的距離為：，解得：

　　∴直線方程為： .

　　綜上，切線的方程為：或 ……………4分

　　(2)點到直線的距離為：，

　　又∵圓被直線截得的弦長為8 ∴ ……………7分

　　∴圓M的方程為： ……………8分

　　(3)假設存在定點R，使得為定值，設，，

　　∵點P在圓M上 ∴ ，則 ……………10分

　　∵PQ為圓O的切線∴ ∴ ，

　　即

　　整理得： (*)

　　若使(*)對任意恒成立，則 ……………13分

　　∴ ，代入得：

　　整理得：，解得：或 ∴ 或

　　∴存在定點R ，此時為定值或定點R ，此時為定值 .

　　………………16分

　　20.解：(1)①設等差數列的公差為 .

　　∵ ∴ ∴

　　∵ 的前三項分別加上1，1，3后順次成為某個等比數列的連續三項

　　∴ 即，∴

　　解得：或

　　∵ ∴ ∴ ， ………4分

　　②∵ ∴ ∴ ∴ ，整理得：

　　∵ ∴ ………7分

　　(2)假設存在各項都是正整數的無窮數列，使對一切都成立，則

　　∴

　　∴ ，……，，將個不等式疊乘得：

　　∴ ( ) ………10分

　　若，則 ∴當時，，即

　　∵ ∴ ，令，所以

　　與矛盾. ………13分

　　若，取為的整數部分，則當時，

　　∴當時，，即

　　∵ ∴ ，令，所以

　　與矛盾.

　　∴假設不成立，即不存在各項都是正整數的無窮數列，使對一切都成立.

　　………16分

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