高二數學教案不等式的性質（通用10篇）

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高二數學教案不等式的性質（通用10篇）

　　作為一名無私奉獻的老師，總不可避免地需要編寫教案，編寫教案助于積累教學經驗，不斷提高教學質量。那么優秀的教案是什么樣的呢？以下是小編精心整理的高二數學教案不等式的性質，希望能夠幫助到大家。

高二數學教案不等式的性質（通用10篇）

　　高二數學教案不等式的性質 1

　　教學目標：

　　1.經歷通過類比、猜測、驗證發現不等式基本性質的探索過程，初步體會不等式與等式的異同。

　　2.掌握不等式的基本性質，并能初步運用不等式的基本性質將比較簡單的不等式轉化為“x＞a”或“x＜a”的形式。

　　3.能說出不等式為什么可以從一種形式變形為另一種形式，發展其代數變形能力，養成步步有據、準確表達的良好學習習慣。

　　教學重難點：

　　重點：探索不等式的基本性質，并能靈活地掌握和應用

　　難點：能根據不等式的基本性質進行化簡

　　教學過程：

　　一、復習引入，導入新課

　　師：我們學習了等式，并掌握了等式的基本性質，大家還記得等式的基本性質嗎？

　　生：記得

　　等式的基本性質1：在等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或整式，所得的結果仍是等式。等式的基本性質2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數（除數不為0），所得的結果仍是等式。師：不等式與等式只有一字之差，那么它們的性質是否也有相似之處呢？本節課我們將加以驗證。

　　設計意圖：通過回顧等式的性質，為本節課類比等式的性質去探索不等式的性質做好鋪墊，并且從學生已有的數學經驗出發，有助于學生建立新舊知識之間的聯系，讓學生養成梳理知識體系的習慣。

　　二、情境導入：童言無忌（課件）

　　三歲的小凱幼兒園回家開始纏著他的爸爸說：“爸爸，你比我大多少歲啊？”爸爸放下手中的報紙笑瞇瞇的答道：“我比可愛的小凱大25歲呀，怎么了？”小凱高興地跑開道：“再過25年我就和爸爸一樣大嘮”。

　　留下錯愕的爸爸沉浸在“百感交集”中…………

　　設計意圖：學生對故事很感興趣，體會到不相等的兩個量的比較要在“公平”的情況下進行，即要加同時加，要減同時減。

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　　三、新知探究

　　教師活動：展示課件，請同學們完成填空，并探究規律。

　　1、用“﹥”或“﹤”填空，并總結其中的規律：

　　（1） 5>3, 5+2 3+2 , 5－2 3－2 ；

　　（2）–1<3 , -1+2 3+2 , -1－3 3－3 ；

　　學生活動：探究規律，交流討論，解答上述問題，結果：

　　（1） > 、 > （2） < 、 <

　　根據發現的規律填空:

　　當不等式兩邊加或減去同一個數(正數或負數）時,不等號的方向師生共識：總結出不等式的性質：

　　板書：不等式的性質1 不等式的兩邊加（或減）同一個數(或式子)，不等號的方向不變，字母表示為：如果a＞b，那么a±c > b±c

　　解決“童言無忌”的問題

　　2、繼續探究，接著又出示（3）、（4）題：

　　(3) 6＞2, 6×5 2×5 , 6×（-5） 2×（-5）；

　　(4) -2<3, (-2)×6 3×6 , (-2)×（-6） 3×（-6）

　　（方法同上）又得到：

　　當不等式的兩邊同乘以一個正數時,不等號的方向不變；

　　當不等式的兩邊同乘以一個負數時,不等號的方向改變。

　　板書：不等式的性質2 不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，字母表示為：如果a>b,c>0,那么ac > bc

　　3、繼續探究，接著又出示（5）、（6）題：

　　(5) 6＞2, 6×(-5)____2×(-5) 6÷ (-5)____2÷ (-5) ；

　　(6) –2<3, (-2)×(-6)____3×(-6) (-2) ÷(-6)____3÷ (-6)

　　會發現: 當不等式的兩邊同乘或同除以同一個負數時,不等號的方向______；

　　板書：不等式的性質 3 不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

　　字母表示為：如果a＞b，c＜0,那么ac < bc

　　22ll4.用不等式的基本性質解釋的正確性 4學習必備歡迎下載

　　2222llll師：在上節課中，我們知道周長為l的圓和正方形，它們的`面積分別為和，且有存416416在，你能用不等式的基本性質來解釋嗎？

　　生： ∵4π＜16

　　22ll2l0 ∴ ，又∵ 416

　　22ll2l 根據不等式的基本性質2，兩邊都乘以得 416

　　設計意圖：通過自主探究，對比不等式的變化讓學生得出不等式的基本性質。這樣，既教給學生類比，猜想，驗證的問題研究方法，又培養了學生善于動手、善于觀察、善于思考的學習習慣。通過兩道題目的訓練提升學生利用不等式基本性質解決問題的能力。并進一步熟悉不等式的基本性質。

　　5.例題講解

　　將下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

　　（1）x－5＞－1；

　　（2）－2x＞3；

　　生：（1）根據不等式的基本性質1，兩邊都加上5，得

　　x＞－1+5

　　即x＞4；

　　（2）根據不等式的基本性質3，兩邊都除以－2，得 3 x＜－； 2

　　說明：在不等式兩邊同時乘以或除以同一個數（除數不為0）時，要注意數的正、負，從而決定不等號方向的改變與否

　　程序說明：教師對題目進行分析，并引導學生題目的處理方法，如何才能將下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式，即“將不等式的轉化為左邊只含有系數和次數均為1的未知數，右邊只含有常數的形式”

　　6.合作探究

　　多媒體課件展示

　　討論下列式子的正確與錯誤.

　　（1）如果a＜b，那么a+c＜b+c；

　　（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c；

　　（3）如果a＜b,那么ac＜bc；

　　ab （4）如果a＜b,且c≠0,那么. cc學習

　　師：在上面的例題中，我們討論的是具體的數字，這種題型比較簡單，因為要乘以或除以某一個數時就能確定是正數還是負數，從而能決定不等號方向的改變與否。在本題中討論的是字母，因此首先要決定的是兩邊同時乘以或除以的某一個數的正、負。

　　本題難度較大，請大家全面地加以考慮，并能互相合作交流。

　　生：（1）正確

　　∵a＜b，在不等式兩邊都加上c，得

　　a+c＜b+c；

　　∴結論正確

　　同理可知（2）正確

　　（3）根據不等式的基本性質2，兩邊都乘以c，得

　　ac＜bc,所以正確

　　ab （4）根據不等式的基本性質2，兩邊都除以c，得 cc

　　所以結論錯誤

　　師：大家同意這位同學的做法嗎？

　　生：不同意

　　師：能說出理由嗎？

　　生：在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因為在（3）中有a＜b,兩邊同時乘以c時，沒有指明c的符號是正還是負，若為正則不等號方向不變，若為負則不等號方向改變，若c=0，則有ac=bc,正是因為c的不明確性，所以導致不等號的方向可能是變、不變，或應改為等號。而結論ac＜bc.只指出了其中一種情況，故結論錯誤。

　　在（4）中存在同樣的問題，雖然c≠0,但不知c是正數還是負數，所以不能決定不等號的方向是否改abab變，若c＞0,則有,而他只說出了一種情況，所以結果錯誤,若 c＜0，則有cccc師：通過做這個題，大家能得到什么啟示呢？

　　生：在利用不等式的性質2和性質3時，關鍵是看兩邊同時乘以或除以的是一個什么性質的數，從而確定不等號的改變與否。

　　師：非常棒。我們學習了不等式的基本性質，而且做過一些練習，下面我們再來研究一下等式和不等式的性質的區別和聯系，請大家對比地進行。

　　生：不等式的基本性質有三條，而等式的基本性質有兩條。

　　區別：在等式的兩邊同時乘以或除以同一個數（除數不為0）時，所得結果仍是等式；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個數（除數不為0）時會出現兩種情況，若為正數則不等號方向不變，若為負數則不等號的方向改變。

　　聯系：不等式的基本性質和等式的基本性質，都討論的是在兩邊同時加上（或減去），同時乘以（或除以，除數不為0）同一個數時的情況。且不等式的基本性質1和等式的基本性質1相類似。

　　設計意圖: 讓學生通過嘗試練習與交流討論，加深對性質的理解和運用。題目中的不等式變形中，將同加、減、乘（或除以）具體數字換成了表示數的字母，滲透了分類討論的數學思想，加大了難度，有助于學生能力的提升，為解不等式作好鋪墊。在這個環節的教學過程中，放手讓學生展示、說理、點評、爭論，充分發揮學生學習的主體作用。程序說明：學生先獨立練習，再小組交流、指導、檢查，最后小組選派代表展示，其他小組進行點評、補充、質疑。

　　四、訓練反饋

　　1.填空：如果>,那么

　　（1）3 3；

　　（不等式性質） ab

　　（2）- -；

　　（不等式性質） ab

　　（3）-+2 -+2 ；

　　（不等式性質）

　　ab（4） . （不等式性質）

　　1122

　　2. 用“＜” “＞”填空：

　　（1）若3＞3,則； yyxx

　　（2）若-2＜-2,則； yyxx

　　（3）若5+1＜5+1,則 . xxyy

　　3.（1）若則；

　　x3x＞6，（2）若則；

　　x3x＞6，（3）若，則，即 4，得 .x4x4x9514x5＞9

　　4.判斷下列各題的結論是否正確？并說明理由.

　　b（1）若且＞0，則；

　　aax＞b，x＞a

　　b（2）若且＜0，則；

　　aax＞b，x＞a

　　22（3）若則；

　　ac＞bca＞b，（4）若，則. 22a＞bac＞bc

　　5.若<，得>的條件是 . xaxyay

　　aaa A．>0 B．<0 C．≥0 D. ≤0 a

　　程序說明：學生先獨立練習，再小組交流、指導、檢查，最后小組選派代表展示，其他小組進行點評、補充、質疑.

　　（二）訓練二

　　aa6.有人說:因為5>3,所以5>3,你認為對嗎？為什么？

　　7.把下列不等式化為或的形式：

　　x＞ax＜a

　　2x5＞33x2＞4

　　程序說明：學生先獨立練習，再小組交流、指導、檢查，最后小組選派代表展示，其他小組進行點評、補充、質疑. 學習必備歡迎下載

　　設計意圖: 分層測評，意在尊重個體差異，面向全體，激發學生的學習熱情，挖掘每一個學生的潛能，讓不同層次的學生得到不同程度的發展.

　　五、課時小結

　　教師活動：

　　1. 本節課你學習了那些新知識？

　　2. 在數學思想或方法上，你有什么感悟？

　　3. 在小組學習中，你覺得應該注意些什么？

　　4. 你還有什么困惑嗎？

　　學生活動：暢所欲言，說出自己對本節課學習的感受和收獲。

　　（預設問題）

　　1.等式與不等式的基本性質有什么相同點和不同點？

　　2.對不等式進行變形要特別注意什么

　　設計意圖：讓學生通過總結反思，一是為了進一步引導學生反思自己的學習方式，有利于培養歸納、總結的習慣，讓學生自主構建知識體系；二是為了激起學生感受成功的喜悅，激勵學生以更大的熱情投入到以后的學習中去。比較不等式基本性質與等式基本性質的異同，不僅有利于學生認識不等式，而且可以使學生體會知識之間的內在聯系，整體上把握知識，發展學生的辨證思維。

　　六、限時作業

　　課本P42 習題2.2 知識技能 2

　　設計意圖：通過作業來規范學生題目完成的規范性。

　　七、教學反思：

　　本節課設計旨在讓學生經歷通過實驗、猜測、驗證，發現不等式性質的探索過程。用類比和實驗探究法作為主要方法貫穿整個課堂教學之中，并以多媒體作為輔助教學手段。讓學生充分進行討論交流，在自主探索和合作學習中掌握不等式的性質。這樣就能有效地突破本節課的難點，為學生今后的學習打下堅實的基礎。

　　教學過程中貫穿了一條“創設情境，引出新知—實驗討論，得出性質—探究辨析，突破難點—運用性質，解決問題”的線索，使學生真正成為學習的主人。在師生交流合作中營造互動的氛圍，讓學生積極主動地參與教學的整個過程，使他們的學習態度、情感意志和個性品質等都得到不同程度的提高。

　　為了突破教學難點，讓學生能熟練準確地運用“不等式性質3"，本課設計了多樣化的練習以鞏固所學知識。在學生回答、板演、討論的過程中，課堂氣氛被激活，教學難點被突破，使學生在輕松愉快的氛圍中扎實地掌握性質并靈活運用。同時，學習伙伴之間進行了思維的碰撞和溝通。

　　高二數學教案不等式的性質 2

　　教學目標

　　1．掌握實數的運算性質與大小順序間關系；

　　2．掌握求差法比較兩實數或代數式大小；

　　3．強調數形結合思想。

　　教學重點

　　比較兩實數大小

　　教學難點

　　理解實數運算的符號法則

　　教學方法

　　啟發式

　　教學過程

　　一、復習回顧

　　我們知道，實數與數軸上的點是一一對應的，在數軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數比左邊的點表示的實數大。例如，在右圖中，點A表示實數，點B表示實數，點A在點B右邊，那么。我們再看右圖，表示減去所得的差是一個大于0的數即正數。一般地：若，則是正數；逆命題也正確。類似地，若，則是負數；若，則。它們的逆命題都正確。這就是說：（打出幻燈片1）

　　由此可見，要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們這節課將要學習的主要內容。

　　二、講授新課

　　1．比較兩實數大小的方法——求差比較法

　　比較兩個實數與的大小，歸結為判斷它們的差的符號，而這又必然歸結到實數運算的符號法則。

　　比較兩個代數式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結為判斷它們的差的`符號。

　　接下來，我們通過具體的例題來熟悉求差比較法。

　　2．例題講解

　　例1 比較與的大小。

　　分析：此題屬于兩代數式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項之后，判斷差值正負，并根據實數運算的符號法則來得出兩個代數式的大小。

　　解：

　　∴

　　例2 已知，比較（與的大小。

　　分析：此題與例1基本類似，也屬于兩個代數式比較大小，但是其中的x有一定的限制，應該在對差值正負判斷時引起注意，對于限制條件的應用經常被學生所忽略。

　　由得，從而請同學們想一想，在例2中，如果沒有這個條件，那么比較的結果如何？

　　（學生回答：若沒有這一條件，則，從而大于或等于）

　　為了使大家進一步掌握求差比較法，我們來進行下面的練習。

　　三、課堂練習

　　1．比較的大小。

　　2．如果，比較的大小。

　　3．已知，比較與的大小。

　　要求：學生板演練習，老師講評，并強調學生注意加限制條件的題目。

　　課堂小結

　　通過本節學習，大家要明確實數運算的符號法則，掌握求差比較法來比較兩實數或代數式的大小。

　　課后作業

　　習題6，1 1，2，3。

　　高二數學教案不等式的性質 3

　　教學目標

　　1、知識與技能：進一步掌握基本不等式；會應用此不等式求某些函數的最值；能夠解決一些簡單的實際問題

　　2、過程與方法：通過兩個例題的研究，進一步掌握基本不等式，并會用此定理求某些函數的最大、最小值。

　　3、情態與價值：引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德。

　　教學重點

　　基本不等式的應用

　　教學難點

　　利用基本不等式求最大值、最小值。

　　教學過程

　　1、課題導入

　　（1）重要不等式：如果

　　（2）基本不等式：如果a，b是正數，那么

　　（3）我們稱的算術平均數，稱的幾何平均數。成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實數，而后者要求a，b都是正數。

　　2、講授新課

　　例1

　　（1）已知m>0，求證。[思維切入]因為m>0，所以可把和分別看作基本不等式中的a和b，直接利用基本不等式。

　　[證明]因為m>0，由基本不等式得當且僅當=，即m=2時，取等號。

　　規律技巧總結注意：m>0這一前提條件和=144為定值的前提條件。

　　（2）求證：思維切入：由于不等式左邊含有字母a，右邊無字母，直接使用基本不等式，無法約掉字母a，而左邊。這樣變形后，在用基本不等式即可得證。[證明]

　　當且僅當=a—3即a=5時，等號成立。

　　規律技巧總結通過加減項的方法配湊成基本不等式的形式。

　　例2某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　分析：此題首先需要由實際問題向數學問題轉化，即建立函數關系式，然后求函數的最值，其中用到了均值不等式定理。

　　解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據題意，得當因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元

　　評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數學語言的應用即函數解析式的建立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件。

　　歸納：用均值不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：

　　（1）先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的.變量定為函數；

　　（2）建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題；

　　（3）在定義域內，求出函數的最大值或最小值；

　　（4）正確寫出答案。

　　3、隨堂練習

　　（1）已知x≠0，當x取什么值時，x2＋的值最小？最小值是多少？

　　（2）課本第101頁的練習4，習題3。

　　4、課時小結

　　本節課我們用兩個正數的算術平均數與幾何平均數的關系順利解決了函數的一些最值問題。在用均值不等式求函數的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應注意考查下列三個條件：

　　（1）函數的解析式中，各項均為正數；

　　（2）函數的解析式中，含變數的各項的和或積必須有一個為定值；

　　（3）函數的解析式中，含變數的各項均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數的最值時，應具備三個條件：一正、二定、三相等。

　　5、作業設計

　　課本第101頁習題[A]組的第2、4題

　　高二數學教案不等式的性質 4

　　教學目標

　　1．掌握分式不等式向整式不等式的轉化；

　　2．進一步熟悉并掌握數軸標根法；

　　3．掌握分式不等式基本解法。

　　教學重點難點

　　重點是分式不等式解法

　　難點是分式不等式向整式不等式的轉化

　　教學方法

　　啟發式和引導式

　　教具準備

　　三角板、幻燈片

　　教學過程

　　1．復習回顧：

　　前面，我們學習了含有絕對值的不等式的基本解法，還了解了數軸標根法的解題思路，本節課，我們將繼續研究分式不等式的解法。

　　2．講授新課：

　　例3解不等式＜0.

　　分析：這是一個分式不等式，其左邊是兩個關于x的二次三項式的商，根據商的符號法則，它可以化成兩個不等式組：

　　因此，原不等式的解集就是上面兩個不等式組的解集的.并集，此種解法從課本可以看到。

　　另解：根據積的符號法則，可以將原不等式等價變形為（x2－3x＋2）(x2－2x－3)＜0

　　即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0

　　令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0

　　可得零點x=－1或1，或2或3，將數軸分成五部分（如圖）。

　　由數軸標根法可得所求不等式解集為：

　　{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}

　　說明：（1）讓學生注意數軸標根法適用條件；

　　（2）讓學生思考≤0的等價變形。

　　例4解不等式＞1

　　分析：首先轉化成右端為0的分式不等式，然后再等價變形為整式不等式求解。

　　解：原不等式等價變形為：

　　－1＞0

　　通分整理得：＞0

　　等價變形為：（x2－2x＋3）(x2－3x＋2)＞0

　　即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0

　　由數軸標根法可得所求不等式解集為：

　　{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}

　　說明：此題要求學生掌握較為一般的分式不等式的轉化與求解。

　　3．課堂練習：

　　課本P19練習1.

　　補充：（1）≥0；

　　（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0.

　　課堂小結

　　通過本節學習，要求大家在進一步掌握數軸標根法的基礎上，掌握分式不等式的基本解法，即轉化為整式不等式求解。

　　課后作業

　　習題6.4 3,4.

　　高二數學教案不等式的性質 5

　　【教學目標】

　　1.通過具體情境讓學生感受和體驗現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，鼓勵學生用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，使學生感受數學、走進數學、改變學生的數學學習態度。

　　2．建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關系。

　　3．了解不等式或不等式組的實際背景。

　　4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。

　　【重點難點】

　　重點:

　　１.通過具體的問題情景，讓學生體會不等量關系存在的普遍性及研究的必要性。

　　２.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關系，并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關系的問題。

　　3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關系的意義和價值。

　　難點:

　　1.用不等式或不等式組準確地表示不等關系。

　　2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關系的實際問題。

　　【方法手段】

　　1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數學模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發式教學。

　　2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發揮老師的主導作用和學生的主體作用。

　　3.設計教典型的現實問題，激發學生的學習興趣和積極性。

　　【教學過程】

　　教學環節

　　教師活動

　　學生活動

　　設計意圖

　　導入新課

　　日常生活中，同學們發現了哪些數量關系。你能舉出一些例子嗎？

　　實例1.某天的天氣預報報道，最高氣溫35℃，最低氣溫29℃。

　　實例2.若一個數是非負數，則這個數大于或等于零。

　　實例3.兩點之間線段最短。

　　實例4.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

　　引導學生想生活中的例子和學過的數學中的例子。在老師的引導下，學生肯定會迫不及待的能說出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛，又激發了學生學習數學的興趣。

　　推進新課

　　同學們所舉的這些例子聯系了現實生活，又考慮到數學上常見的數量關系，非常好。而且大家已經考慮到本節課的標題《不等關系與不等式》，所舉的實例都是反映不等量的關系。

　　（下面利用電腦投影展示兩個實例）

　　實例5：限時40km/h的路標，指示司機在前方路段行使時，應使汽車的速度v不超過40km/h。

　　實例6：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.

　　同學們認真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。

　　讓學生們邊看邊思考：生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數量關系來描述

　　過程引導

　　能夠發現身邊的數學當然很好，這說明同學們已經走進了數學這門學科，但是我們還要能用數學的眼光、數學的觀點、進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，那么我們用什么知識來表示這些不等關系呢？

　　什么是不等式呢？

　　用大屏幕展示一組不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.

　　能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來，也就是建立不等式數學模型的過程通過對不等式數學模型的研究，反過來作用于現實生活，這才是學習數學的最終目的。

　　思考并回答老師的問題：可以用不等式或不等式組來表示不等關系。

　　經過老師的啟發和點撥，學生可以自己總結出：用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。

　　目的是讓學生回憶不等式的一些基本形式，并說明不等號≤，≥的含義，是或的關系。回憶了不等式的概念，不等式組學生自然而然就清楚了。

　　此時學生已經迫不及待地想說出自己的觀點了。

　　合作探究

　　（一）。下面我們把上述實例中的不等量的關系用不等式或不等式組一一的表示出來，那應該怎么表示呢？

　　這兩位同學的觀點是否正確？

　　老師要表揚學生：“很好！這樣思考問題很嚴密。”應該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關系，也可以用“且”的形式來表達。

　　（二）。問題一：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點。

　　請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關系。

　　老師提示：借助于圖形，這個問題是不是可以解決？

　　（下面讓學生板演，結合三角形草圖來表達）

　　問題（二）：某種雜志原以每本2。5元的價格銷售，可以售出8萬本，據市場調查，若單價每提高0。1元，銷售量就可能相應減少2000本。若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？

　　是不是還有其他的思路？

　　為什么可以這樣設？

　　很好，請繼續講。

　　這位學生回答的很好，表述得很準確。請同學們對兩種解法作比較。

　　問題（三）：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關系的不等式？

　　假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的.鋼管y根。根據題意，應當有什么樣的不等量關系呢？

　　右邊的三個不等關系是“或”還是“且”的關系呢？

　　這位學生回答得很好，思維很嚴密，那么該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關系呢？

　　通過上述三個問題的探究，同學們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關系表示出來，這一點掌握得很好。請同學們完成書本練習第74頁1，2。

　　課堂小結：

　　1.學習數學可以幫助我們解決實際生活中的問題。

　　2.數學和我們的生活聯系非常密切。

　　3.本節課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組，并且能用它來解決現實生活中存在的大量不等量關系的實際問題。還要注意思維要嚴密，規范，并且要注意數形結合等思想方法的綜合應用。

　　布置作業：

　　第75頁習題3.1 A組4，5。

　　29℃≤t≤35℃

　　x≥0

　　|AC|+|BC|>|AB|

　　|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

　　|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、

　　|AB|-|AC|<|BC|.交被減數與減數的位置也可以。

　　如果用表示速度，則v≤40km/h.

　　f≥2.5%或p≥2.3%

　　學生自己糾正了錯誤：這種表達是錯誤的，因為兩個不等量關系要同時滿足，所以應該用不等式組來表示次實際問題中的不等量關系，即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

　　過點A作AC⊥平面于點C，則d=|AC|≤|AB|

　　可設雜志的定價為x元，則銷售量就減少萬本。銷售量變為(8-)萬本，則總收入為(8-)x萬元。即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為(8-)x≥20.

　　解法二：可設雜志的單價提高了0.1n元，（n）

　　我只考慮單價的增量。

　　那么銷售量減少了0.2n萬本，單價為（2.5+0.1n）元，則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式，表示為（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20.

　　截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm。

　　截得600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管的3倍。

　　截得兩種鋼管的數量都不能為負數。

　　它們是同時滿足條件，應該是且的關系。由實際問題的意義，還應有x,y要同時滿足上述三個不等關系，可以用下面的不等式組來表示：

　　如果學生沒有想到的話，老師可以在黑板上板演示意圖，啟發學生考慮三邊的大小關系。

　　此時啟發學生“或”字可以嗎？學生沒有了聲音，他們在思考著。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。

　　此時學生們在思考，時間長的話，老師要及時點撥。

　　讓學生知道，在解決問題時應該貫穿數形結合的思想，以形助數，下面有學生的聲音，有學生在討論，有的學生還有疑問。老師注意關注學生的思維狀況，并且及時的加以指導。

　　此時學生已經真正進入本節課的學習狀態，老師再給出問題（三）使學生一直處于跟隨老師積極思考和解決問題的狀態。問題是教學研究的核心，以問題展示的形式來培養學生的問題意識與探究意識。

　　【教學反思】

　　本節課內容很多，都是不等式和不等式組的有關問題，還有很多是生活中的實例，學生學習起來很感興趣，課堂的氣氛也很好，大多數學生都能很積極地回答問題，使課堂的學習氣氛很濃，確實也做到了愉快教學。設計是按照老師引導式教學，邊講授邊引導，啟發學習思考問題及能自己解決問題，鍛煉學習能自主的學習能力。

　　【交流評析】

　　一是課堂容量適中，二是實例很好，接近生活，學生感興趣。三是學生回答問題積極踴躍，和老師配合很好。四是多媒體應用的恰到好處，教學設備很完善，老師也能很熟練的應用。

　　高二數學教案不等式的性質 6

　　一、教學目標

　　1、掌握分析法證明不等式；

　　2、理解分析法實質？？執果索因；

　　3、提高證明不等式證法靈活性.

　　二、教學重點

　　分析法

　　三、教學難點

　　分析法實質的理解

　　四、教學方法

　　啟發引導式

　　五、教學活動

　　（一）導入新課

　　（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評、

　　（學生活動）回答和思考教師提出的問題、

　　［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

　　［問題2］能否用比較法或綜合法證明不等式：

　　[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法、（板書課題）

　　設計意圖：復習已學證明不等式的方法、指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入本節課學習內容：用分析法證明不等式、

　　（二）新課講授

　　嘗試探索、建立新知：

　　（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評、幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系、投影分析法證明不等式的`概念、

　　（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知、

　　[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式、

　　［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

　　［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？

　　［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

　　［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立、就是分析法的邏輯關系、

　　[投影]分析法證明不等式的概念、（見課本）

　　設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究、建立新的知識；分析法證明不等式、培養學習創新意識、

　　例題示范、學會應用：

　　（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題、

　　（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證、

　　高二數學教案不等式的性質 7

　　〔教學目標〕

　　1、了解等式的概念；

　　2、利用天平的經驗分析得出等式的性質；

　　3、會利用等式的性質解方程。

　　〔重點難點〕

　　等式的性質和運用是重點；利用天平經驗抽象出等式的性質是難點。〔教學方法〕指導探究，合作交流

　　〔教學資源〕

　　多媒體設備

　　〔教學過程〕

　　一、問題導入

　　我們知道未知數的某個值是方程的解，但怎樣才能知道方程的解是什么呢？方程是含有未知數的等式，我們先來看看等式有什么性質。

　　二、等式及其性質

　　1、等式

　　用等號表示相等關系的式子叫等式。如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。注意：等式中一定含有等號。

　　我們可以用a=b來表示一般的等式。

　　2、等式的性質

　　觀察天平的變化，你能發現了什么？

　　在平衡天平的兩邊都加上（或減去）同樣的量，天平還保持平衡。

　　如果把天平看成等式，球和正方體看成數或式，那么你能得到什么結論？

　　等式性質1等式兩邊加上（或減去）同一個數（或式子），結果仍相等。用字母表示為：如果a=b，那么a±c=b±c×3÷3觀察天平的變化，你能發現了什么？

　　把平衡天平的兩邊都擴大（或縮小）相同的倍數，天平仍保持平衡。

　　同樣地，如果把天平看成等式，球和正方體看成數，那么你能得到什么結論？等式性質2 等式兩邊乘以同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。用字母表示為：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么a／c=b／c（c≠０）。

　　注意：①等式兩邊除以一個數時，這個數必須不為０；②對等式變形必須同時進行，且是同一個數或式。

　　思考：回答下列問題：

　　（１）從a+b=b+c，能否能到a=c，為什么？

　　（2）從a-b=b-c，能否能到a=c，為什么？

　　（１）從ab=bc，能否能到a=c，為什么？

　　（１）從a/b=c/b，能否能到a=c，為什么？

　　（１）從xy=1，能否能到x=1/y，為什么？

　　三、例題

　　例1 利用等式的性質解下列方程：

　　（1）x+7=26;(2)-5x=20;(3)-1/3x-5=4.

　　分析：解方程的'結果就是將方程轉化為x=a的形式，為此，解方程就要將未知項移到一邊，常數項移到另一邊。

　　解：（１）將常數項移到右邊，得

　　x=26－7

　　化為x=a的形式，得 x=１９。

　　（２）化為x=a的形式，得

　　x=20／－５于是x=－４。

　　（３）將常數項移到右邊，得

　　-1/3x=4＋５即-1/3x=９

　　化為x=a的形式，得

　　x=９×（－３）于是x=－２７。

　　四、課堂練習

　　課本８４面練習（１）～（４）。

　　五、課堂小結

　　１、等式和等式的性質。

　　２、運用等式的性質解方程。

　　作業：

　　課本８５面３、４、７、８。

　　課外閱讀８６面《“方程”史話》

　　六、板書設計: 等式的性質

　　一、等式及其性質

　　二、例題

　　三、練習

　　高二數學教案不等式的性質 8

　　教學內容：

　　蘇教版教科書第1～2頁的內容。

　　教學目的：

　　⑴在具體的情景中，讓學生理解等式的性質，會用等式的性質解簡單的方程，初步會用列方程解決一步計算的實際問題。

　　⑵在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中，讓學生經歷將情景問題抽象等式規律的過程，積累將現實問題數學化的經驗，感受方程的思想方法及價值，發展抽象能力和推理能力。

　　⑶學生在數學活動的過程中，養成獨立思考、主動與他人合作交流等習慣，獲得成功的體驗，培養對數學的.學習興趣。

　　教學流程：

　　一、談話導入，明確探究的目標。

　　⑴出示天平圖，增加感性認識。

　　出示天平圖。

　　讓學生說說對天平的認識；

　　⑵明確探究的目標。

　　教師總結，引導學生們明確探究的話題——等式中存在的規律；出示圖片情境。

　　二、自主探究規律。

　　⑴自主看圖填空。

　　學生自主完成第3頁的看圖填空。

　　⑵同桌交流。

　　交流填寫的內容，辨析答案的正確性；交流發現的規律；引導學生理解規律。

　　⑶舉例驗證發現規律的正確性。

　　班級舉例；同桌舉例驗證。

　　⑷適當推理。

　　由等式的性質——“等式兩邊同時加上或減去同一個數，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。”進行適當的推理。

　　希望推理出“等式兩邊同時乘或除以同一個數，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。”

　　三、規律的引用。

　　⑴出示方程，引發學生的求未知數的興趣。

　　出示上節課學生列出的部分方程x＋50＝150和2x＝200，談話：你知道x表示多少，介紹你的想法。

　　⑵引用規律解方程。

　　在學生的介紹中，張揚用等式解方程的數學根據。

　　⑶規范解方程的格式。

　　x＋50＝150

　　解：x＋50－50＝150－50

　　x＝100

　　⑷學習驗證答案的方法。

　　方法：代入法。

　　格式：把x＝100代入原方程，100＋50＝150，x＝100是正確的。

　　⑸練一練。

　　解方程x—30=80。

　　⑹全課小結，完成作業。

　　小結：解方程，求方程中未知數的值的過程，叫做解方程。

　　作業：第4頁練一練1～2。

　　高二數學教案不等式的性質 9

　　教學目標：

　　知識與技能：通過天平演示保持平衡的幾種變換情況，讓學生初步認識等式的基本性質。

　　過程與方法：利用觀察天平保持平衡所發現的規律，能直接判斷天平發生變化后能否保持平衡。

　　情感、態度與價值觀：培養學生觀察與概括、比較與分析的能力。

　　教學重點：

　　掌握等式的基本性質。

　　教學難點：

　　理解并掌握等式的性質，能根據具體情境列出相應的方程。

　　教學方法：

　　啟發式教學；自主探索、觀察、歸納、合作學習新知。

　　教學準備：

　　天平、茶壺、茶杯、墨水、鉛筆盒。

　　教學過程

　　一、情境導入

　　1．上節課我們認識了天平，知道天平的兩邊重量完全相同時，天平才能保持平衡；并利用天平學會了等式和方程的含義：等號兩邊完全相等的式子叫等式，含有未知數的等式就是方程。

　　2．同學們，你們做過天平游戲嗎？這節課我們要利用天平一起來探索等式的性質。（板書課題：等式的性質）

　　二、互動新授

　　1．出示教材第64頁情境圖1第一個天平圖。

　　讓學生仔細觀察圖，并說一說：通過圖你知道了什么？

　　讓學生自主回答，學生可能會回答：天平的左邊放了一把茶壺，右邊放了兩個茶杯，天平保持平衡；這說明一個茶壺的重量與2個茶杯的重量相等。

　　引導學生小結：1個茶壺的重量=2個茶杯的重量。

　　追問：如果設一個茶壺的重量是n克，1個茶杯的重量是b克，能用式子表示嗎？

　　讓學生嘗試寫出：a=2b（師板書）

　　引導學生思考：如果在天平的兩邊同時各放上一個茶杯，天平會發生什么變化呢？

　　先讓學生猜一猜，學生可能會猜測出天平仍然平衡。再追問：為什么？

　　學生可能會說：因為兩邊加上的重量一樣多。

　　教師先進行實際操作天平驗證，讓學生觀察。再演示這一過程，并明確：兩邊仍然相等。

　　小結：實驗證明1個茶壺+1個茶杯的質量＝3個茶杯的質量。

　　讓學生嘗試用字母表示這個式子：a+b=2b+b（師板書）

　　提問：如果兩邊各放上2個茶杯，還保持平衡嗎？兩邊各放同樣的一把茶壺呢？

　　學生回答后，教師演示，并讓學生分別用式子表示：a+2b=2b+2ba+a=2b+a

　　2．出示教材第64頁圖2的第一個天平圖。

　　讓學生觀察現在的天平是什么樣的？（平衡）

　　追問：如果用a表示一個花盆的重量，用b表示一個花瓶的重量，怎樣用等式來表示這幅圖呢？生嘗試寫出：a+b=4b

　　再問：如果把兩邊都拿掉1個花瓶，天平還平衡嗎？先讓學生猜一猜，再演示。

　　學生回答：平衡。讓學生嘗試用等式表示：a+b—b=4b—b

　　從圖上你能知道什么？（出示教材第64頁圖2第二個天平圖）

　　（1個花盆和3個花瓶同樣重。）

　　3．通過這幾個實驗，你發現了什么？

　　引導小結：平衡的天平兩邊加上同樣的物品，天平還保持平衡。平衡的天平兩邊減去同樣的物品，天平還保持平衡。天平的兩邊同時加上或減去同樣的數量，天平仍然平衡。

　　你能用一句話來表示你的發現嗎？

　　引導學生歸納等式的性質1：等式兩邊加上或減去同一個數，左右兩邊仍然相等。

　　4．引導學生通過假設具體的數進行比較驗證。如：假設一個花瓶1千克，那么4個花瓶共4千克；一個花盆3千克，再加一個花瓶也是4千克。把兩邊同時減去一個花瓶也就是減去1千克，那么兩邊都剩下3千克。

　　5．猜猜：除了這樣的變化，天平仍保持平衡外，還可以怎么做能使天平保持平衡？

　　讓學生猜測。這里對學生可能有些難度，有些學生的猜測脫離不了等式的`性質1。

　　如：學生猜測天平的兩邊同時放2個、3個杯子；同時減去一把茶壺等。這時教師一定要及時強調：這都是把等式的兩邊加上或減去同一個數，并提示學生如果把等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數（O除外），會怎么樣呢？

　　6．出示教材第65頁圖1的第一個天平圖，讓學生觀察并說明。

　　（一瓶墨水的重量＝一盒鉛筆盒的重量）

　　引導學生用a表示墨水的重量，用6表示鉛筆盒的重量，寫出等式：a=b。

　　猜一猜：左邊墨水的數量擴大到原來的2倍，右邊鉛筆盒的數量也擴大到原來的2倍，天平還保持平衡嗎？

　　學生猜測后，教師進行實際天平操作，驗證學生的猜測。

　　多媒體演示變化過程，并引導學生用等式表示：2a=2b。

　　如果把天平的兩邊物品的數量分別擴大到原來的3倍、4倍呢？（仍然保持平衡）

　　7．出示教材第65頁圖2的第一個天平圖，讓學生觀察并說明知道了什么。

　　（2個排球的質量＝6個皮球的質量）

　　引導學生用a表示排球的重量，用6表示皮球的重量，寫出等式：2a=6b。

　　質疑：如果把兩邊的球都平均分成2份，各去掉一份，天平還能平衡嗎？

　　學生猜測：平衡。

　　教師演示，并引導學生用等式a=3b表示。

　　8．通過剛才的試驗，你發現了什么？

　　發現：平衡的天平兩邊的物品擴大到原來的相同倍數，天平仍然平衡。平衡的天平兩邊的物品都縮小到原來的幾分之一，天平仍然平衡。

　　你能用一句話總結一下等式的這個性質嗎？

　　歸納小結：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，左右兩邊仍然相等。

　　9．為什么等式兩邊不能除以O？學生交流，匯報：O不能做除數。

　　三、鞏固拓展

　　利用等式的性質填空

　　1．如果2x—5=9，那么2x=9＋（）

　　2．如果5=10＋x，那么5x—（）=10

　　3．如果3x=7，那么6x=（）

　　4．如果5x=15，那么x=（）

　　先讓學生回憶等式的性質，再自主完成填空。

　　四、課堂小結

　　這節課你學會了什么知識？有哪些收獲？（引導總結等式的性質）

　　高二數學教案不等式的性質 10

　　教具準備：

　　天平及相關物品。(也可以將插圖制作成課件讓學生逐步觀察思考)

　　教學過程：

　　一、導入新課：同學們用天平做過實驗嗎？今天我們就要用天平去發現一些重要的規律，有信心嗎？

　　二、新知探究

　　(一)探尋發現“天平保持平衡的規律1”。

　　第一步，出示天平，左盤放一茶壺，右盤放兩茶杯，天平保持平衡。問：這說明什么？如果設一把茶壺重a克，1個茶杯重b克，則可以用一個等式來表示：即a=2b(板)，第二步，問：想一想，怎樣變換能使天平仍然保持平衡呢？待學生思考片刻，進而問：往兩邊各放一個茶杯，天平會發生什么變化？教師演示加以驗證，在已平衡的天平兩邊同時增加一個相同的杯子，天平保持平衡。這個過程可以表示為a+b=2b+b 。

　　第三步，問：如果兩邊各放上2個茶杯，天平還保持平衡？兩邊各放上同樣的一個茶壺呢？學生回答后，老師一一演示驗證。

　　第四步，想一想，怎樣變換能使天平保持平衡？天平兩邊增加同樣的物品，天平保持平衡。如果天平兩邊減少同樣的物品，天平會保持平衡嗎？

　　第五步，在第三步的基礎上同時減少一個茶壺，天平保持平衡，用式子表示就是2a-a=2b+a-a 。因此天平保持平衡的規律概括起來可以怎么說？天平兩邊增加或減少同樣的物品，天平會保持平衡。(課件)

　　第六步，應用，進一步驗證。展示數學書P55頁第2幅圖的場景，1個花盆和幾個花瓶同樣重呢？該怎么辦？兩邊同時減少一個花瓶，天平保持平衡。

　　(二)探尋發現“天平保持平衡的規律2”。

　　第一步，出示天平，左盤放一瓶墨水，右盤放兩個鉛筆盒，天平保持平衡。一瓶墨水等于兩個鉛筆盒的質量，如果設一瓶墨水重c克，1個鉛筆盒重d克，則可以用一個等式來表示：即c=2d(板)，第二步，問：想一想，如果在左邊再放上1瓶墨水，右邊再放上2個鉛筆盒，天平還保持平衡嗎？驗證，天平兩邊加的東西不同，數量也不同，為什么還能保持平衡呢？學生可能會說，因為兩邊增加的質量相同，肯定;同時引導，天平左邊的質量在原來的基礎上發生了什么變化？(擴大了2倍)，右邊呢？(也擴大了兩倍)因此，天平兩邊盡管所增加的東西不同，數量不同，但兩邊質量所發生的變化是相同的，都擴大了2倍，所以天平仍然保持平衡。用式子表示就是c×2=2d×2 。

　　第三步，剛才的演示反過來，就是天平兩邊同時縮小相同的倍數，天平保持平衡，用式子表示就是2c÷2=4d÷2。因此，天平除了在兩邊同時增加或減少同樣的物品會保持平衡外，還可怎么變換也可以保持平衡？歸納得出：天平兩邊物品的質量同時擴大或縮小相同的倍數，天平保持平衡。[

　　第四步，進一步驗證，出示P56的情景，問要求1個排球和幾個皮球同樣重該怎么辦？兩邊質量同時縮小2倍，即把兩邊的球都平均分成2份，保留其中的一份，按其操作，天平保持平衡，得出結論：1個排球和3個皮球同樣重。

　　(三)小結天平保持平衡的變換規律，引出等式不變的規律。

　　通過剛才的實驗，我們發現了什么，誰來總結一下。

　　得出天平保持平衡的變換規律：

　　(1)天平兩邊同時增加或減少同樣的物品，天平保持平衡;

　　(2)天平兩邊的質量同時擴大或縮小相同的倍數，天平保持平衡。

　　老師引導：我們可以發現，天平保持平衡時可以用一個等式來表示，當天平兩邊發生變化時，等式的兩邊也在發生變化，天平保持平衡，等式也保持不變。從天平保持平衡的規律，我們可以發現等式保持不變的規律嗎？想一想，四人小組討論。

　　交流，發現：等式保持不變的規律：

　　(1)等式兩邊都加上或減去相同的數，等式保持不變;

　　(2)等式兩邊都乘或除以相同的.數(0除外)，等式不變。

　　三、練習。