高考數學專項練習試題

2016高考數學專項練習試題

　　一、選擇題

　　1.若點P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則(　　)

　　A.過點P有且僅有一條直線與l，m都平行

　　B.過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直

　　C.過點P有且僅有一條直線與l，m都相交

　　D.過點P有且僅有一條直線與l，m都異面

　　答案：B　命題立意：本題考查異面直線的幾何性質，難度較小.

　　解題思路：因為點P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直，故選B.

　　2.如圖，P是正方形ABCD外一點，且PA平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關系是(　　)

　　A.平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直

　　B.它們兩兩垂直

　　C.平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直

　　D.平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直

　　答案：A　解題思路： DA⊥AB，DAPA，AB∩PA=A，

　　DA⊥平面PAB，又DA平面PAD， 平面PAD平面PAB.同理可證平面PAB平面PBC.把四棱錐P-ABCD放在長方體中，并把平面PBC補全為平面PBCD1，把平面PAD補全為平面PADD1，易知CD1D即為兩個平面所成二面角的平面角，CD1D=APB，

　　CD1D<90°，故平面PAD與平面PBC不垂直.

　　3.設α，β分別為兩個不同的平面，直線lα，則“lβ”是“αβ”成立的(　　)

　　A.充分不必要條件

　　B.必要不充分條件

　　C.充要條件

　　D.既不充分也不必要條件

　　答案：A　命題立意：本題主要考查空間線面、面面位置關系的判定與充分必要條件的判斷，意在考查考生的邏輯推理能力.

　　解題思路：依題意，由lβ，lα可以推出αβ;反過來，由αβ，lα不能推出lβ.因此“lβ”是“αβ”成立的充分不必要條件，故選A.

　　4.若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列結論正確的是(　　)

　　A.若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線

　　B.若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線

　　C.已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若mα，則nβ

　　D.m，n在平面α內的射影互相垂直，則m，n互相垂直

　　答案：B　解題思路：本題考查了空間中線面的平行及垂直關系.在A中：因為平行于同一平面的兩直線可以平行，相交，異面，故A為假命題;在B中：因為垂直于同一平面的兩直線平行，故B為真命題;在C中：n可以平行于β，也可以在β內，也可以與β相交，故C為假命題;在D中：m，n也可以不互相垂直，故D為假命題.故選B.

　　5.如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動，另一端點N在正方形ABCD內運動，則MN的中點的軌跡的面積為(　　)

　　A.4π B.2π

　　C.π D.-π

　　答案：D　解題思路：本題考查了立體幾何中的點、線、面之間的關系.如圖可知，端點N在正方形ABCD內運動，連接ND，由ND，DM，MN構成一個直角三角形，設P為NM的中點，根據直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得，不論MDN如何變化，點P到點D的距離始終等于1.故點P的軌跡是一個以D為中心，半徑為1的球的球面，其面積為.

　　技巧點撥：探求以空間圖形為背景的軌跡問題，要善于把立體幾何問題轉化到平面上，再聯合運用平面幾何、立體幾何、空間向量、解析幾何等知識去求解，實現立體幾何到解析幾何的過渡.

　　6.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結論：

　　直線BE與直線CF是異面直線;直線BE與直線AF是異面直線;直線EF平面PBC;平面BCE平面PAD.

　　其中正確結論的序號是(　　)

　　A.1 B.1

　　C. 3D.4

　　答案：B　解題思路：本題考查了立體幾何中的點、線、面之間的關系.畫出幾何體的圖形，如圖，由題意可知，直線BE與直線CF是異面直線，不正確，因為E，F分別是PA與PD的中點，可知EFAD，所以EFBC，直線BE與直線CF是共面直線;直線BE與直線AF是異面直線，滿足異面直線的定義，正確;直線EF平面PBC，由E，F是PA與PD的中點，可知EFAD，所以EFBC，因為EF平面PBC，BC平面PBC，所以判斷是正確的;由題中條件不能判定平面BCE平面PAD，故不正確.故選B.

　　技巧點撥：翻折問題常見的是把三角形、四邊形等平面圖形翻折起來，然后考查立體幾何的常見問題：垂直、角度、距離、應用等問題.此類問題考查學生從二維到三維的升維能力，考查學生空間想象能力.解決該問題時，不僅要知道空間立體幾何的有關概念，還要注意到在翻折的過程中哪些量是不變的，哪些量是變化的.

　　二、填空題

　　7.如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形CEFB為正方形，平面ABCD平面CEFB，CE=1，AED=30°，則異面直線BC與AE所成角的大小為________.

　　答案：45°　解題思路：因為BCAD，所以EAD就是異面直線BC與AE所成的角.

　　因為平面ABCD平面CEFB，且ECCB，

　　所以EC平面ABCD.

　　在RtECD中，EC=1，CD=1，故ED==.

　　在AED中，AED=30°，AD=1，由正弦定理可得=，即sin EAD===.

　　又因為EAD∈(0°，90°)，所以EAD=45°.

　　故異面直線BC與AE所成的角為45°.

　　8.給出命題：

　　異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線;

　　兩異面直線a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行于平面α;

　　兩異面直線a，b，如果a平面α，那么b不垂直于平面α;

　　兩異面直線在同一平面內的射影不可能是兩條平行直線.

　　上述命題中，真命題的序號是________.

　　答案：　解題思路：本題考查了空間幾何體中的點、線、面之間的關系.根據異面直線的定義知：異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線，故命題為真命題;兩條異面直線可以平行于同一個平面，故命題為假命題;若bα，則ab，即a，b共面，這與a，b為異面直線矛盾，故命題為真命題;兩條異面直線在同一個平面內的射影可以是：兩條平行直線、兩條相交直線、一點一直線，故命題為假命題.

　　9.如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.已知一個正六棱錐的各個頂點都在半徑為3的球面上，則該正六棱錐的體積的最大值為________.

　　答案：16　命題立意：本題以球的內接組合體問題引出，綜合考查了棱錐體積公式、利用導數工具處理函數最值的方法，同時也有效地考查了考生的運算求解能力和數學建模能力.

　　解題思路：設球心到底面的距離為x，則底面邊長為，高為x+3，正六棱錐的體積V=×(9-x2)×6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27)，其中0≤x<3，則V′=(-3x2-6x+9)=0，令x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3(舍)，故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.

　　10.已知三棱錐P-ABC的各頂點均在一個半徑為R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，=，則三棱錐與球的體積之比為________.

　　答案：　命題立意：本題主要考查線面垂直、三棱錐與球的體積計算方法，意在考查考生的空間想象能力與基本運算能力.

　　解題思路：依題意，AB=2R，又=，ACB=90°，因此AC=R，BC=R，三棱錐P-ABC的體積VP-ABC=PO·SABC=×R××R×R=R3.而球的體積V球=R3，因此VP-ABCV球=R3R3=.

　　三、解答題

　　11.如圖，四邊形ABCD與A′ABB′都是正方形，點E是A′A的中點，A′A平面ABCD.

　　(1)求證：A′C平面BDE;

　　(2)求證：平面A′AC平面BDE.

　　解題探究：第一問通過三角形的中位線證明出線線平行，從而證明出線面平行;第二問由A′A與平面ABCD垂直得到線線垂直，再由線線垂直證明出BD與平面A′AC垂直，從而得到平面與平面垂直.

　　解析：(1)設AC交BD于M，連接ME.

　　四邊形ABCD是正方形，

　　M為AC的中點.

　　又 E為A′A的中點，

　　ME為A′AC的中位線，

　　ME∥A′C.

　　又 ME⊂平面BDE，

　　A′C⊄平面BDE，

　　A′C∥平面BDE.

　　(2)∵ 四邊形ABCD為正方形， BD⊥AC.

　　∵ A′A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

　　A′A⊥BD.

　　又AC∩A′A=A， BD⊥平面A′AC.

　　BD⊂平面BDE，

　　平面A′AC平面BDE.

　　12.如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.

　　(1)求證：D1CAC1;

　　(2)設E是DC上一點，試確定E的位置，使D1E平面A1BD，并說明理由.

　　命題立意：本題主要考查空間幾何體中的平行與垂直的判定，考查考生的空間想象能力和推理論證能力.通過已知條件中的線線垂直關系和線面垂直的判定證明線面垂直，從而證明線線的垂直關系.并通過線段的長度關系，借助題目中線段的中點和三角形的中位線尋找出線線平行，證明出線面的平行關系.解決本題的關鍵是學會作圖、轉化、構造.

　　解析：(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，連接C1D， DC=DD1，

　　四邊形DCC1D1是正方形，

　　DC1⊥D1C.

　　又ADDC，ADDD1，DC∩DD1=D，

　　AD⊥平面DCC1D1，

　　又D1C平面DCC1D1，

　　AD⊥D1C.

　　∵ AD⊂平面ADC1，DC1平面ADC1，

　　且AD∩DC1=D，

　　D1C⊥平面ADC1，

　　又AC1平面ADC1，

　　D1C⊥AC1.

　　(1)題圖

　　(2)題圖

　　(2)連接AD1，AE，D1E，設AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，連接MN.

　　平面AD1E∩平面A1BD=MN，

　　要使D1E平面A1BD，

　　可使MND1E，又M是AD1的中點，

　　則N是AE的中點.

　　又易知ABN≌△EDN，

　　AB=DE.

　　即E是DC的中點.

　　綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E平面A1BD.

　　13.已知直三棱柱ABC-A′B′C′滿足BAC=90°，AB=AC=AA′=2，點M，N分別為A′B和B′C′的中點.

　　(1)證明：MN平面A′ACC′;

　　(2)求三棱錐C-MNB的體積.

　　命題立意：本題主要考查空間線面位置關系、三棱錐的體積等基礎知識.意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.

　　解析：(1)證明：如圖，連接AB′，AC′，

　　四邊形ABB′A′為矩形，M為A′B的中點，

　　AB′與A′B交于點M，且M為AB′的中點，又點N為B′C′的中點.

　　MN∥AC′.

　　又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′，

　　MN∥平面A′ACC′.

　　(2)由圖可知VC-MNB=VM-BCN，

　　BAC=90°， BC==2，

　　又三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，且AA′=4，

　　S△BCN=×2×4=4.

　　A′B′=A′C′=2，BAC=90°，點N為B′C′的中點，

　　A′N⊥B′C′，A′N=.

　　又BB′⊥平面A′B′C′，

　　A′N⊥BB′，

　　A′N⊥平面BCN.

　　又M為A′B的中點，

　　M到平面BCN的距離為，

　　VC-MNB=VM-BCN=×4×=.

　　14.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4.

　　(1)設M是PC上的一點，證明：平面MBD平面PAD;

　　(2)求四棱錐P-ABCD的體積.

　　命題立意：本題主要考查線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理與性質定理以及棱錐的體積的計算等，意在考查考生的邏輯推理能力與計算能力，考查化歸與轉化思想.

　　解析：(1)證明：在ABD中，因為AD=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2.

　　故ADBD.

　　又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

　　所以BD平面PAD，

　　又BD平面MBD，

　　所以平面MBD平面PAD.

　　(2)過點P作OPAD交AD于點O，

　　因為平面PAD平面ABCD，

　　所以PO平面ABCD.

　　因此PO為四棱錐P-ABCD的高.

　　又PAD是邊長為4的等邊三角形，

　　所以PO=×4=2.

　　在四邊形ABCD中，ABDC，AB=2DC，

　　所以四邊形ABCD是梯形.

　　在Rt△ADB中，斜邊AB上的高為=，此即為梯形ABCD的高.

　　所以四邊形ABCD的面積S=×=24.

　　故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=×24×2=16.

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