小升初奧數雞兔同籠問題多種解決辦法

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2017小升初奧數雞兔同籠問題多種解決辦法

　　雞兔同籠是中國古代的數學名題之一。大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：今有雉兔同籠，上有十四頭，下有三十八足，問雉兔各幾何?要解決此題，應該說很容易，那如何快速高效呢?又能理清其中的關系，講明道理何在嗎?下面一起來看看雞兔同籠問題的解決方法吧!

　　【含義】這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

　　【數量關系】第一雞兔同籠問題：

　　假設全都是雞，則有兔數=(實際腳數-2×雞兔總數)÷(4-2)

　　假設全都是兔，則有雞數=(4×雞兔總數-實際腳數)÷(4-2)

　　第二雞兔同籠問題：

　　假設全都是雞，則有兔數=(2×雞兔總數-雞與兔腳之差)÷(4+2)

　　假設全都是兔，則有雞數=(4×雞兔總數+雞與兔腳之差)÷(4+2)

　　【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞;如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。

　　例1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞?

　　解假設35只全為兔，則雞數=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)

　　兔數=35-23=12(只)

　　也可以先假設35只全為雞，則兔數=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)

　　雞數=35-12=23(只)

　　答：有雞23只，有兔12只。

　　例2 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝?

　　解此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。“每畝菠菜施肥(1÷2)千克”與“每只雞有兩個腳”相對應，“每畝白菜施肥(3÷5)千克”與“每只兔有4只腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數”相對應。假設16畝全都是菠菜，則有

　　白菜畝數=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(畝)

　　答：白菜地有10畝。

　　例3 李老師用69元給學校買作業本和日記本共45本，作業本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本?

　　解此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，則有

　　作業本數=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)

　　日記本數=45-15=30(本)

　　答：作業本有15本，日記本有30本。

　　例4 (第二雞兔同籠問題)雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只?

　　解假設100只全都是雞，則有

　　兔數=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)

　　雞數=100-20=80(只)

　　答：有雞80只，有兔20只。

　　例5 有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人?

　　解假設全為大和尚，則共吃饃(3×100)個，比實際多吃(3×100-100)個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃(3-1/3)個。因此，共有小和尚(3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)

　　共有大和尚100-75=25(人)

　　答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

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