初二函數知識點總結

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初二函數知識點總結

　　函數在數學上的定義：給定一個數集A,對A施加對應法則f,記作f(A),得到另一數集B,也就是B=f(A).那么這個關系式就叫函數關系式,簡稱函數.下面是小編整理的關于初二函數知識點總結，歡迎大家參考!

初二函數知識點總結

　　初二函數知識點總結 1

　　一、知識要點

　　1、函數概念：在一個變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x的每一個值，y都有惟一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數.

　　2、一次函數和正比例函數的概念

　　若兩個變量x，y間的關系式可以表示成y=kx+b(k，b為常數，k≠0)的形式，則稱y是x的一次函數(x為自變量)，特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數.

　　說明：(1)一次函數的自變量的取值范圍是一切實數，但在實際問題中要根據函數的實際意義來確定.

　　(2)一次函數y=kx+b(k，b為常數，b≠0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數為1，一次項系數k必須是不為零的常數，b可為任意常數.

　　(3)當b=0，k≠0時，y=b仍是一次函數.

　　(4)當b=0，k=0時，它不是一次函數.

　　3、一次函數的圖象(三步畫圖象)

　　由于一次函數y=kx+b(k，b為常數，k≠0)的圖象是一條直線，所以一次函數y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b.

　　由于兩點確定一條直線，因此在今后作一次函數圖象時，只要描出適合關系式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y軸的交點(0，b)，直線與x軸的交點(-，0).但也不必一定選取這兩個特殊點.畫正比例函數y=kx的圖象時，只要描出點(0，0)，(1，k)即可.

　　4、一次函數y=kx+b(k，b為常數，k≠0)的性質(正比例函數的性質略)

　　(1)k的正負決定直線的'傾斜方向;①k>0時，y的值隨x值的增大而增大;

　　②k

　　(2)|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數越大(直線陡)|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數越小(直線緩);

　　(3)b的正、負決定直線與y軸交點的位置;

　　①當b>0時，直線與y軸交于正半軸上;

　　②當b<0時，直線與y軸交于負半軸上;

　　③當b=0時，直線經過原點，是正比例函數.

　　(4)由于k，b的符號不同，直線所經過的象限也不同;

　　5、確定正比例函數及一次函數表達式的條件

　　(1)由于正比例函數y=kx(k≠0)中只有一個待定系數k，故只需一個條件(如一對x，y的值或一個點)就可求得k的值.

　　(2)由于一次函數y=kx+b(k≠0)中有兩個待定系數k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值.

　　6、待定系數法

　　先設待求函數關系式(其中含有未知常數系數)，再根據條件列出方程(或方程組)，求出未知系數，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數法.其中未知系數也叫待定系數.例如：函數y=kx+b中，k，b就是待定系數.

　　7、用待定系數法確定一次函數表達式的一般步驟

　　(1)設函數表達式為y=kx+b;

　　(2)將已知點的坐標代入函數表達式，解方程(組);

　　(3)求出k與b的值，得到函數表達式.

　　8、本章思想方法

　　(1)函數方法。函數方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數量關系，函數的實質是研究兩個變量之間的對應關系。

　　(2)數形結合法。數形結合法是指將數與形結合，分析、研究、解決問題的一種思想方法。

　　二、典型例題

　　例1、當m為何值時，函數y=-(m-2)x+(m-4)是一次函數?

　　例2、一根彈簧長15cm，它所掛物體的質量不能超過18kg，并且每掛1kg的物體，彈簧就伸長0.5cm，寫出掛上物體后，彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質量x(kg)之間的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并判斷y是否是x的一次函數.

　　例3、(2003廈門)某物體從上午7時至下午4時的溫度M(℃)是時間t(時)的函數：M=t2-5t+100(其中t=0表示中午12時，t=1表示下午1時)，則上午10時此物體的溫度為__℃.

　　例4、已知y+m與x-n成正比例(其中m，n是常數)

　　(1)y是x的一次函數嗎?請說明理由;在什么條件下，y是x的正比例函數?

　　(2)如果x=-1時，y=-15;x=7時，y=1，求這個一次函數的解析式。并求這條直線與坐標軸圍成的三角形的面積。

　　例5、(哈爾濱)若正比例函數y=(1-2m)x的圖象經過點A(x1，y1)和點B(x2，y2)，當x1y2，則m的取值范圍是_____________

　　例6、一次函數y=kx+b的自變量x的取值范圍是-3≤x≤6，相應函數值的取值范圍是-5≤y≤-2，則這個函數的解析式為.

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　　一、函數：

　　一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。

　　二、自變量取值范圍

　　使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從整式（取全體實數），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數為非負數）、實際意義幾方面考慮。

　　三、函數的三種表示法及其優缺點

　　（1）關系式（解析）法

　　兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做關系式（解析）法。

　　（2）列表法

　　把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。

　　（3）圖象法

　　用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法。

　　四、由函數關系式畫其圖像的一般步驟

　　（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值

　　（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點

　　（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

　　五、正比例函數和一次函數

　　1、正比例函數和一次函數的概念

　　一般地，若兩個變量x，y間的關系可以表示成（k，b為常數，k0）的'形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。

　　特別地，當一次函數中的b=0時（即）（k為常數，k0），稱y是x的正比例函數。

　　2、一次函數的圖像：所有一次函數的圖像都是一條直線

　　3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：一次函數的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的直線。

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　　一次函數的表達式是=x+b (≠b 、b是常數)，其中是x自變量，是因變量，讀作是x的一次函數，當x取一個值時，有且只有一個值與x對應，如果有兩個或兩個以上的值與x對應，那么這個函數就不是一次函數。

　　一次函數表達式求解：

　　一次函數也叫做線性函數，一般在X，坐標軸中用一條直線來表示，當一次函數中的一個變量的值確定的情況下，可以用一元一次方程來解答出另一個變量的值。

　　一次函數的表達方式一般都為=x+b的函數，叫做是X的一次函數，當常數項為零時的一次函數，可表示為=x（≠0），這時的常數也叫比例系數。常用來表示一次函數的方法有解析法，圖像法和列表法。一次函數的解析式一般分為點斜式，兩點式，截距式。

　　解答一次函數的作法最簡單的就是列表法，取一個滿足一次函數表達式的兩個點的坐標，來確定另一個未知數的值。還有一個描點法。一般取兩個點，根據“兩點確定一條直線”的道理，也可叫“兩點法”。通常情況下=x+b(≠0）的`圖象過（0，b）和（-b/，0）兩點即可畫出。

　　一次函數與一次方程之間的關系：

　　一次函數、方程和不等式是初中數學的主要內容之一，也是中考的必考知識點，新課程標準把三部分的關系提到了十分明朗化的程度。因此，應該重視這部分內容的教學在教學中，可以從以下幾個知識點進行辨析。

　　任何一個一元一次方程都可以轉化成ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值（從數的角度）；從圖像上來看，就相當于已知直線=ax+b，確定它與x軸的交點橫坐標的值（從形的角度）。

　　利用函數圖像解方程：-2x+2=0，可以轉化為求一次函數=-2x+2與x軸交點的橫坐標。而=-2x+2與x軸交點的橫坐標為1，所以方程-2x+2=0的解為x=1。

　　注意：解一元一次方程ax+b=0（a≠0）與求函數=ax+b(a≠0)的圖像與x軸交點的橫坐標是同一個問題。不同的是前者從數的角度來解決問題，后者從形的角度來解決問題。

　　每個二元一次方程組都對應兩個一次函數，從數的角度來看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這個函數是何值；從形的角度來看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標，從而使方程組得出答案。

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　　作法

　　(1)列表：表中給出一些自變量的值及其對應的函數值。

　　(2)描點：在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點。

　　一般地，y=kx+b(k≠0)的圖象過(0，b)和(-b/k，0)兩點即可畫出。

　　正比例函數y=kx(k≠0)的圖象是過坐標原點的一條直線，一般取(0，0)和(1，k)兩點畫出即可。

　　(3)連線：按照橫坐標由小到大的順序把描出的各點用平滑曲線連接起來。

　　性質

　　(1)在一次函數圖像上的任取一點P(x，y)，則都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。

　　(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總交于(-b/k，0)。正比例函數的圖像都經過原點。

　　k，b決定函數圖像的位置：

　　y=kx時，y與x成正比例：

　　當k>0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大;

　　當k<0時，直線必通過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　y=kx+b時：

　　當 k>0，b>0，這時此函數的圖象經過第一、二、三象限;

　　當 k>0，b<0，這時此函數的圖象經過第一、三、四象限;

　　當 k<0，b>0，這時此函數的圖象經過第一、二、四象限;

　　當 k<0，b<0，這時此函數的圖象經過第二、三、四象限。

　　當b>0時，直線必通過第一、三象限;

　　當b<0時，直線必通過第二、四象限。

　　特別地，當b=0時，直線經過原點O(0，0)。

　　這時，當k>0時，直線只通過第一、三象限，不會通過第二、四象限。當k<0時，直線只通過第二、四象限，不會通過第一、三象限。

　　平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。

　　水平的數軸稱為x軸或橫軸，豎直的數軸稱為y軸或縱軸，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

　　平面直角坐標系的要素：①在同一平面②兩條數軸③互相垂直④原點重合

　　三個規定：

　　①正方向的規定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向

　　②單位長度的規定；一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同；實際有時也可不同，但同一數軸上必須相同。

　　③象限的規定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。

　　平面直角坐標系的構成

　　在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系。通常，兩條數軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統稱為坐標軸，它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點。

　　點的坐標的性質

　　建立了平面直角坐標系后，對于坐標系平面內的任何一點，我們可以確定它的坐標。反過來，對于任何一個坐標，我們可以在坐標平面內確定它所表示的一個點。

　　對于平面內任意一點C，過點C分別向Ｘ軸、Ｙ軸作垂線，垂足在Ｘ軸、Ｙ軸上的.對應點a，b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標，有序實數對（a，b）叫做點C的坐標。

　　一個點在不同的象限或坐標軸上，點的坐標不一樣。

　　因式分解的一般步驟

　　如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，

　　通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。

　　注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內因式分解，應該是指在有理數范圍內因式分解，因此分解因式的結果，必須是幾個整式的積的形式。

　　因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫把這個多項式因式分解。

　　因式分解要素：①結果必須是整式②結果必須是積的形式③結果是等式④

　　因式分解與整式乘法的關系：m(a+b+c)

　　公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。

　　公因式確定方法：①系數是整數時取各項最大公約數。②相同字母取最低次冪③系數最大公約數與相同字母取最低次冪的積就是這個多項式各項的公因式。

　　提取公因式步驟：

　　①確定公因式。②確定商式③公因式與商式寫成積的形式。

　　分解因式注意；

　　①不準丟字母

　　②不準丟常數項注意查項數

　　③雙重括號化成單括號

　　④結果按數單字母單項式多項式順序排列

　　⑤相同因式寫成冪的形式

　　⑥首項負號放括號外

　　⑦括號內同類項合并。

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　　一.常量、變量：

　　在一個變化過程中,數值發生變化的量叫做變量;數值始終不變的量叫做常量。

　　二、函數的概念：

　　函數的定義：一般的，在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.

　　三、函數中自變量取值范圍的求法：

　　(1)用整式表示的函數，自變量的取值范圍是全體實數。

　　(2)用分式表示的函數，自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實數。

　　(3)用寄次根式表示的函數，自變量的取值范圍是全體實數。

　　用偶次根式表示的函數，自變量的取值范圍是使被開方數為非負數的一切實數。

　　(4)若解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各部分的取值范圍，然后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。

　　(5)對于與實際問題有關系的，自變量的取值范圍應使實際問題有意義。

　　四、函數圖象的定義：一般的，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么在坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.

　　五、用描點法畫函數的圖象的一般步驟

　　1、列表(表中給出一些自變量的值及其對應的函數值。)

　　注意：列表時自變量由小到大，相差一樣，有時需對稱。

　　2、描點：(在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點。

　　3、連線：(按照橫坐標由小到大的順序把所描的各點用平滑的曲線連接起來)。

　　六、函數有三種表示形式：

　　(1)列表法(2)圖像法(3)解析式法

　　七、正比例函數與一次函數的概念：

　　一般地，形如y=kx(k為常數，且k≠0)的函數叫做正比例函數.其中k叫做比例系數。

　　一般地，形如y=kx+b(k,b為常數，且k≠0)的函數叫做一次函數.

　　當b=0時,y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數，是一次函數的特例.

　　八、正比例函數的圖象與性質：

　　(1)圖象:正比例函數y=kx(k是常數，k≠0))的圖象是經過原點的一條直線，我們稱它為直線y=kx。

　　(2)性質:當k>0時,直線y=kx經過第三，一象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大;當k<0時,直線y=kx經過二,四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小。

　　單項式的乘法法則：

　　單項式相乘，把系數、同底數冪分別相乘，作為積的因式;對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.

　　單項式與多項式的乘法法則：

　　單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.

　　多項式與多項式的乘法法則：

　　多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.

　　單項式的除法法則：

　　單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.

　　多項式除以單項式的法則：

　　多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.

　　2、乘法公式：

　　①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

　　文字語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差.

　　②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

　　(a-b)2=a2-2ab+b2

　　文字語言敘述：兩個數的和(或差)的平方等于這兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍.

　　3、因式分解：

　　因式分解的定義.

　　把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.

　　掌握其定義應注意以下幾點：

　　(1)分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可;

　　(2)因式分解必須是恒等變形;

　　(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.

　　弄清因式分解與整式乘法的內在的關系.

　　因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.

　　九、求函數解析式的方法:

　　待定系數法：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而具體寫出這個式子的方法。

　　1.一次函數與一元一次方程：從“數”的角度看x為何值時函數y=ax+b的值為0.

　　2.求ax+b=0(a,b是常數，a≠0)的解，從“形”的角度看，求直線y=ax+b與x軸交點的'橫坐標

　　3.一次函數與一元一次不等式：

　　解不等式ax+b>0(a，b是常數，a≠0).從“數”的角度看，x為何值時函數y=ax+b的值大于0.

　　4.解不等式ax+b>0(a，b是常數，a≠0).從“形”的角度看，求直線y=ax+b在x軸上方的部分(射線)所對應的的橫坐標的取值范圍.

　　十、一次函數與正比例函數的圖象與性質

　　1.勾股定理的內容：如果直角三角形的兩直角邊分別是a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

　　注：勾——最短的邊、股——較長的直角邊、弦——斜邊。

　　勾股定理又叫畢達哥拉斯定理

　　2.勾股定理的逆定理：

　　如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。即

　　3.勾股數：

　　滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.勾股數擴大相同倍數后，仍為勾股數.常用勾股數：3、4、5;5、12、13;7、24、25;8、15、17。

　　4.勾股定理常常用來算線段長度，對于初中階段的線段的計算起到很大的作用

　　例題精講：

　　例1：若一個直角三角形三邊的長分別是三個連續的自然數，則這個三角形的周長為

　　解析：可知三邊長度為3，4，5，因此周長為12

　　(變式)一個直角三角形的三邊為三個連續偶數，則它的三邊長分別為

　　解析：可知三邊長度為6，8，10，則周長為24

　　例2：已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊長.

　　解析：第一種情況：當直角邊為3和4時，則斜邊為5

　　第二種情況：當斜邊長度為4時，一條直角邊為3，則另一邊為根號7

　　《點評》此題是一道易錯題目，同學們應該認真審題!

　　例3：一個直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的是()

　　A.斜邊長為25

　　B.三角形周長為25

　　C.斜邊長為5

　　D.三角形面積為20

　　解析：根據勾股定理，可知斜邊長度為5，選擇C

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