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線性方程組關于調味品配方問題的應用分析
摘要： 利用線性方程組對調味品配方問題進行建模分析，借助matlab計算工具得到脫銷調味品的配制方案，并用最大無關組求得不能脫銷的調味品種類，以保證各種調味品正常銷售。
關鍵詞： 線性方程組;Matlab;調味品配方
引言
中國的飲食文化和烹調藝術是中國五千年文明史的一部分，中國調味品的生產歷史悠久，源遠流長。早在春秋時期人們就非常重視調味，人們將各種單一的調料組合起來，產生了各種風格各異的口味，形成了魯、川、蘇、粵、閩、浙、湘、徽等不同的風味菜系，調味品的配制也被格外重視。
線性方程組[1]作為最簡單也是最重要的一類代數方程組，在生活中的應用非常廣泛。在化工、農業、日常生活中包含的數學問題中，大都會遇到解線性方程組問題。文章主要針對脫銷調味品的配制問題，利用線性方程組對脫銷調味品進行建模分析，通過數學軟件求解，得出脫銷調味品的配制方案及不能脫銷調味品的種類，以達到所有調味品都能正常銷售的目的。
1、基本概念與結論
定理1
n元非齊次線性方程組AX=b有解?圳R(A)=R(A，b)。
若R(A)=R(A，b)=n時，則方程組有唯一解。
若R(A)=R(A，b)
定理2
如果?酌0為AX=b的一個特解，?孜1，?孜2，…?孜n-r是其導出組的一個基礎解系，則非齊次線性方程組AX=b的通解表示成：
X=?酌0+k1?孜1+k2?孜2+…+?孜n-r?孜n-r， k1，k2，…，kn-r∈R
2、調味品配方問題應用分析
2.1 問題的提出
在化工、農業、養殖業、醫藥、日常膳食等方面經常涉及到配方問題。四川火鍋，在制作配料上以”厚味重油“著稱，鮮香味美，制作精細，口味大眾化，表現了中國烹飪的包容性。現以火鍋調味品的配制為例。某調料公司用7種原料“辣椒，花椒，大蒜，老姜，大料，大蔥，冰糖”按照不同的比例制造6種不同麻辣口味的調味品(A，B，C，D，E，F)，這6種調味品的配方如表1(單位：kg)。
如果第F種調味品現已脫銷，為了保證公司的調味品都正常銷售，能否用其他調味品配制脫銷的第F種調味品?如何配制?
2.2 模型分析
假設考慮的配方問題中涉及的原料混合之后不發生化學反應。設第F種調味品可以有其余的調味品按照一定比例配制而得，且所需A，B，C，D，E，F調味品分別為x1，x2，x3，x4，x5，得到的混合物中7種原料分別為4.5g，6g，3g，3g，1.5g，1.5g，0.75g，故可得方程組為：
3x1+1.5x2+4.5x3+7.5x4+9x5=4.52x1+4x2+0x3+8x4+x5=6x1+2x2+0x3+4x4+2x5=3x1+2x2+0x3+4x4+x5=30.5x1+x2+0x3+2x4+2x5=1.50.5x1+x2+0x3+2x4+2x5=1.50.25x1+0.5x2+0x3+2x4+x5=0.75
寫成矩陣形式為：AX=b
2.3 模型求解
因此，第F種調味品可以有其余的調味品按照上述比例配制而得。
當C1為0時，配制僅需要A，B兩種調味品按照1：1的比例配制即可。
2.4 問題延伸
必須保證哪些調味品不能脫銷，才能配制出其余調味品，以保證調味品都能正常銷售?
設每種調味品所含原料構成一個7維列向量，則這六種調味品就構成了一個向量組。由r(A，b)=4可知，該向量組的最大無關組中含有4個向量。又由rref([A，b])得到的簡化行階梯型矩陣，可知A，B，D，E或者A，B，D，E這四種調味品所在的列向量構成了一個最大無關組，因而這四種調味品不脫銷才能保證所有調味品的正常銷售。
3、結語
為了保證各種調味品都能正常銷售，在某些調味品脫銷的情況下，可以考慮用現有的調味品來配制已經脫銷的調味品。文章針對此問題，對調味品的配方問題進行建模研究，得到了脫銷的調味品的配制方案及不能脫銷調味品的種類。現有的調味品只需含有這些不能脫銷的調味品種類，如果其余調味品脫銷則可通過配制得到，從而不影響所有的調味品的正常銷售。因此，在實際生活中，調味品公司需要對不能脫銷調味品有足夠的庫存，才能保證所有調味品的正常銷售。
參考文獻：
[1]黃庭祝，陳孝予.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2009：96-102.
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[3]姚繼承，陳來勝.調味品現狀與發展趨勢分析[J].中國調味品，2011，6(36)：24-34.
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